1. **Problema:** Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden no autónomo: \(\text{a) } \begin{cases} x_1' = \frac{1}{t} x_1, & t>0 \\ x_2' = x_1 + x_2 \end{cases}\) 2. **Fórmulas y reglas:** - Para resolver \(x_1' = \frac{1}{t} x_1\), es una ecuación separable o de coeficiente variable. - Para \(x_2' = x_1 + x_2\), usaremos la solución de \(x_1\) para sustituir y resolver. 3. **Resolver \(x_1' = \frac{1}{t} x_1\):** \[ x_1' = \frac{1}{t} x_1 \implies \frac{dx_1}{dt} = \frac{1}{t} x_1 \] Separando variables: \[ \frac{dx_1}{x_1} = \frac{1}{t} dt \] Integrando ambos lados: \[ \int \frac{1}{x_1} dx_1 = \int \frac{1}{t} dt \] \[ \ln|x_1| = \ln|t| + C_1 \] Exponenciando: \[ x_1 = C t \quad \text{donde } C = e^{C_1} \] 4. **Resolver \(x_2' = x_1 + x_2\):** Sustituyendo \(x_1 = Ct\): \[ x_2' - x_2 = Ct \] Ecuación lineal de primer orden con factor integrante: \[ \mu(t) = e^{-\int 1 dt} = e^{-t} \] Multiplicamos: \[ e^{-t} x_2' - e^{-t} x_2 = C t e^{-t} \] \[ \frac{d}{dt} (e^{-t} x_2) = C t e^{-t} \] Integrando: \[ e^{-t} x_2 = C \int t e^{-t} dt + C_2 \] Usamos integración por partes para \(\int t e^{-t} dt\): Sea \(u = t, dv = e^{-t} dt\), entonces \(du = dt, v = -e^{-t}\) \[ \int t e^{-t} dt = -t e^{-t} + \int e^{-t} dt = -t e^{-t} - e^{-t} + C_3 = -e^{-t} (t+1) + C_3 \] Por lo tanto: \[ e^{-t} x_2 = C [-e^{-t} (t+1)] + C_2 \] \[ x_2 = -C (t+1) + C_2 e^{t} \] 5. **Solución final del sistema:** \[ \boxed{\begin{cases} x_1(t) = C t \\ x_2(t) = -C (t+1) + C_2 e^{t} \end{cases}} \] Este es el sistema resuelto para \(t > 0\).