1. El problema es encontrar la solución complementaria $y_h$ de la ecuación diferencial $$y''' - 2y'' - y' + 2y = 4e^{3x} + 6x.$$ 2. Para encontrar la solución complementaria, primero resolvemos la ecuación homogénea asociada: $$y''' - 2y'' - y' + 2y = 0.$$ 3. Planteamos la ecuación característica: $$r^3 - 2r^2 - r + 2 = 0.$$ 4. Buscamos raíces racionales posibles usando el teorema del factor racional: posibles raíces son $\pm1, \pm2$. Probamos $r=1$: $$1 - 2 - 1 + 2 = 0,$$ por lo que $r=1$ es raíz. 5. Dividimos el polinomio por $(r-1)$: $$r^3 - 2r^2 - r + 2 = (r-1)(r^2 - r - 2).$$ 6. Factorizamos el trinomio cuadrático: $$r^2 - r - 2 = (r-2)(r+1).$$ 7. Por lo tanto, las raíces son: $$r_1 = 1, \quad r_2 = 2, \quad r_3 = -1.$$ 8. La solución complementaria general es: $$y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-x},$$ donde $C_1, C_2, C_3$ son constantes arbitrarias. Respuesta final: $$\boxed{y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-x}}.$$