1. El problema es encontrar la solución complementaria $y_h$ de la ecuación diferencial $$y''' - 2y'' - y' + 2y = 4e^{3x} + 6x.$$ 2. Para encontrar $y_h$, primero consideramos la ecuación homogénea asociada: $$y''' - 2y'' - y' + 2y = 0.$$ 3. Usamos el método de sustitución para resolver esta ecuación homogénea, asumiendo una solución de la forma $y = e^{rx}$, donde $r$ es una constante a determinar. 4. Derivamos $y = e^{rx}$: $$y' = re^{rx}, \quad y'' = r^2 e^{rx}, \quad y''' = r^3 e^{rx}.$$ 5. Sustituimos en la ecuación homogénea: $$r^3 e^{rx} - 2r^2 e^{rx} - r e^{rx} + 2 e^{rx} = 0.$$ 6. Factorizamos $e^{rx}$ (que nunca es cero): $$e^{rx}(r^3 - 2r^2 - r + 2) = 0 \implies r^3 - 2r^2 - r + 2 = 0.$$ 7. Resolvemos el polinomio característico: Probamos raíces racionales posibles: $r=1$: $$1 - 2 - 1 + 2 = 0,$$ por lo que $r=1$ es raíz. 8. Dividimos el polinomio por $(r-1)$: $$r^3 - 2r^2 - r + 2 = (r-1)(r^2 - r - 2).$$ 9. Factorizamos el cuadrático: $$r^2 - r - 2 = (r-2)(r+1).$$ 10. Por lo tanto, las raíces son: $$r = 1, 2, -1.$$ 11. La solución complementaria es la combinación lineal de las soluciones independientes: $$y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-x},$$ donde $C_1, C_2, C_3$ son constantes arbitrarias. 12. El método de sustitución se utilizó en el paso 3 para transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica (polinomio característico) que es más fácil de resolver. Respuesta final: $$y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-x}.$$