Verificacion Soluciones 306D7D

1. **Problema:** Verificar que $y = \frac{\sin x}{x}$ es solución de la ecuación diferencial $x y' + y = 10 \sin x$. 2. **Fórmula y reglas:** Para verificar, calculamos $y'$ y sustituimos en la ecuación dada. 3. **Derivada de $y$:** $$y = \frac{\sin x}{x} = \sin x \cdot x^{-1}$$ Usamos la regla del producto: $$y' = (\cos x) \cdot x^{-1} + \sin x \cdot (-1) x^{-2} = \frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^2}$$ 4. **Sustitución en la ecuación:** $$x y' + y = x \left( \frac{\cos x}{x} - \frac{\sin x}{x^2} \right) + \frac{\sin x}{x} = \cancel{x} \frac{\cos x}{\cancel{x}} - \cancel{x} \frac{\sin x}{x^2} + \frac{\sin x}{x} = \cos x - \frac{\sin x}{x} + \frac{\sin x}{x} = \cos x$$ 5. **Comparación:** La ecuación pide que $x y' + y = 10 \sin x$, pero hemos obtenido $\cos x$, por lo que $y = \frac{\sin x}{x}$ no es solución. --- 1. **Problema:** Verificar que $y = C a^{-2x} + \frac{1}{3} a^x$ es solución de $y' + 2y = a^x$. 2. **Derivada de $y$:** $$y' = C (-2) a^{-2x} \ln a + \frac{1}{3} a^x \ln a = -2 C a^{-2x} \ln a + \frac{1}{3} a^x \ln a$$ 3. **Sustitución:** $$y' + 2y = -2 C a^{-2x} \ln a + \frac{1}{3} a^x \ln a + 2 \left( C a^{-2x} + \frac{1}{3} a^x \right) = -2 C a^{-2x} \ln a + \frac{1}{3} a^x \ln a + 2 C a^{-2x} + \frac{2}{3} a^x$$ 4. **Agrupamos términos:** $$= C a^{-2x} (2 - 2 \ln a) + a^x \left( \frac{1}{3} \ln a + \frac{2}{3} \right)$$ 5. **Para que sea igual a $a^x$, necesitamos:** $$C a^{-2x} (2 - 2 \ln a) = 0$$ $$\frac{1}{3} \ln a + \frac{2}{3} = 1 \Rightarrow \ln a + 2 = 3 \Rightarrow \ln a = 1 \Rightarrow a = e$$ 6. **Conclusión:** Si $a = e$ y $C$ es arbitrario, la función es solución. --- 1. **Problema:** Verificar que $y = 2 + C \sqrt{1 - x^2}$ es solución de $(1 - x^2) y'' + x y' = 2x$. 2. **Derivadas:** $$y' = C \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$$ $$y'' = C \frac{-\sqrt{1 - x^2} + x \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}}{1 - x^2} = C \frac{- (1 - x^2) + x^2}{(1 - x^2)^{3/2}} = C \frac{-1 + x^2 + x^2}{(1 - x^2)^{3/2}} = C \frac{-1 + 2x^2}{(1 - x^2)^{3/2}}$$ 3. **Sustitución:** $$(1 - x^2) y'' + x y' = (1 - x^2) \cdot C \frac{-1 + 2x^2}{(1 - x^2)^{3/2}} + x \cdot C \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} = C \frac{(1 - x^2)(-1 + 2x^2)}{(1 - x^2)^{3/2}} - C \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$$ 4. **Simplificamos:** $$= C \frac{-1 + 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}} - C \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} = C \frac{-1 + 2x^2 - x^2}{\sqrt{1 - x^2}} = C \frac{-1 + x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$$ 5. **No coincide con $2x$, por lo que no es solución a menos que $C=0$ y $2=0$ que es falso.** --- 1. **Problema:** Verificar que $y = x \sqrt{1 - x^2}$ es solución de $y y' = x - 2x^3$. 2. **Derivada:** $$y = x (1 - x^2)^{1/2}$$ $$y' = (1 - x^2)^{1/2} + x \cdot \frac{1}{2} (1 - x^2)^{-1/2} (-2x) = \sqrt{1 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$$ 3. **Producto:** $$y y' = x \sqrt{1 - x^2} \left( \sqrt{1 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \right) = x (1 - x^2) - x^3 = x - x^3 - x^3 = x - 2x^3$$ 4. **Conclusión:** La función es solución. --- 1. **Problema:** Verificar que $y = e^{\arcsin x}$ es solución de $x y' = y \ln y$. 2. **Derivada:** $$y' = e^{\arcsin x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = y \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$ 3. **Sustitución:** $$x y' = x y \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$ $$y \ln y = y \cdot \arcsin x$$ 4. **Igualamos:** $$x y' = y \ln y \Rightarrow x y \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = y \arcsin x$$ $$\Rightarrow x \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x$$ 5. **Esto no es cierto para todo $x$, por lo que no es solución.** --- 1. **Problema:** Verificar que $y = e^x \int_0^x e^{t^2} dt + C a^x$ es solución de $y' - y = a^{x + x^2}$. 2. **Derivada:** $$y' = e^x \int_0^x e^{t^2} dt + e^x e^{x^2} + C a^x \ln a$$ 3. **Sustitución:** $$y' - y = e^x e^{x^2} + C a^x \ln a - C a^x = e^{x + x^2} + C a^x (\ln a - 1)$$ 4. **Para que sea igual a $a^{x + x^2}$, se necesita $a = e$ y $C=0$.** --- 1. **Problema:** Verificar que $y = x \int_0^x \frac{\sin t}{t} dt$ es solución de $x y' = y + x \sin x$. 2. **Derivada:** $$y' = \int_0^x \frac{\sin t}{t} dt + x \cdot \frac{\sin x}{x} = \int_0^x \frac{\sin t}{t} dt + \sin x$$ 3. **Sustitución:** $$x y' = x \int_0^x \frac{\sin t}{t} dt + x \sin x = y + x \sin x$$ 4. **Conclusión:** La función es solución. **Respuesta final:** - Ejercicio 1: No es solución. - Ejercicio 2: Es solución si $a = e$. - Ejercicio 3: No es solución. - Ejercicio 4: Es solución. - Ejercicio 5: No es solución. - Ejercicio 6: Es solución si $a = e$ y $C=0$. - Ejercicio 7: Es solución.