1. Diberikan fungsi penerimaan (revenue) $$R(Q) = -\frac{5}{3}Q^3 - 100Q^2 - 19680Q$$ dan fungsi biaya total $$TC = -300Q^2 - 70000Q + 25000$$. 2. Tujuan: Mencari produksi $$Q$$ yang memaksimalkan keuntungan dan nilai keuntungan maksimum. 3. Keuntungan $$\pi(Q)$$ adalah selisih antara penerimaan dan biaya total: $$\pi(Q) = R(Q) - TC = \left(-\frac{5}{3}Q^3 - 100Q^2 - 19680Q\right) - \left(-300Q^2 - 70000Q + 25000\right)$$ 4. Sederhanakan keuntungan: $$\pi(Q) = -\frac{5}{3}Q^3 - 100Q^2 - 19680Q + 300Q^2 + 70000Q - 25000$$ $$\pi(Q) = -\frac{5}{3}Q^3 + (300 - 100)Q^2 + (70000 - 19680)Q - 25000$$ $$\pi(Q) = -\frac{5}{3}Q^3 + 200Q^2 + 50320Q - 25000$$ 5. Untuk mencari maksimum keuntungan, turunkan $$\pi(Q)$$ terhadap $$Q$$ dan setarakan dengan nol: $$\frac{d\pi}{dQ} = -5Q^2 + 400Q + 50320 = 0$$ 6. Selesaikan persamaan kuadrat: $$-5Q^2 + 400Q + 50320 = 0$$ Bagi kedua sisi dengan $$-5$$: $$\cancel{-5}Q^2 + \cancel{-5}\left(-80Q\right) + \cancel{-5}\left(-10064\right) = 0 \Rightarrow Q^2 - 80Q - 10064 = 0$$ 7. Gunakan rumus kuadrat: $$Q = \frac{80 \pm \sqrt{80^2 - 4 \times 1 \times (-10064)}}{2} = \frac{80 \pm \sqrt{6400 + 40256}}{2} = \frac{80 \pm \sqrt{46656}}{2}$$ $$\sqrt{46656} = 216$$ 8. Jadi: $$Q_1 = \frac{80 + 216}{2} = 148$$ $$Q_2 = \frac{80 - 216}{2} = -68$$ (abaikan karena produksi tidak mungkin negatif) 9. Periksa nilai kedua turunan untuk memastikan maksimum: $$\frac{d^2\pi}{dQ^2} = -10Q + 400$$ Untuk $$Q=148$$: $$-10(148) + 400 = -1480 + 400 = -1080 < 0$$, jadi ini maksimum. 10. Hitung keuntungan maksimum: $$\pi(148) = -\frac{5}{3}(148)^3 + 200(148)^2 + 50320(148) - 25000$$ Hitung setiap suku: $$148^3 = 3241792$$ $$-\frac{5}{3} \times 3241792 = -5402986.67$$ $$200 \times 148^2 = 200 \times 21904 = 4380800$$ $$50320 \times 148 = 7447360$$ Jumlahkan: $$-5402986.67 + 4380800 + 7447360 - 25000 = 6393173.33$$ Jawaban: a. Produksi maksimum keuntungan adalah $$Q = 148$$. b. Keuntungan maksimum adalah sekitar $$6393173.33$$.