1. **Planteamiento del problema:** Calcular la corriente $I(t)$ en un circuito RLC serie con los siguientes parámetros: - $R_1 = 1000\ \Omega$ - $R_2 = 2000\ \Omega$ - $L = 100\ \text{mH} = 0.1\ \text{H}$ - $C = 500\ \mu\text{F} = 500 \times 10^{-6} = 0.0005\ \text{F}$ - Voltaje aplicado: $V(t) = 300 \cos(1000 t + 30^\circ)$ 2. **Fórmulas y reglas importantes:** Para un circuito RLC serie con fuente sinusoidal, la corriente $I(t)$ es: $$I(t) = I_m \cos(\omega t + \phi)$$ Donde: - $\omega$ es la frecuencia angular (rad/s), aquí $\omega = 1000$ rad/s - $I_m$ es la amplitud de la corriente - $\phi$ es el desfase entre la corriente y el voltaje La impedancia total $Z$ del circuito es: $$Z = R + j(\omega L - \frac{1}{\omega C})$$ Aquí, $R = R_1 + R_2 = 1000 + 2000 = 3000\ \Omega$ 3. **Cálculo de la impedancia:** $$X_L = \omega L = 1000 \times 0.1 = 100\ \Omega$$ $$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{1000 \times 0.0005} = 2\ \Omega$$ Por lo tanto, $$Z = 3000 + j(100 - 2) = 3000 + j98\ \Omega$$ 4. **Magnitud y ángulo de la impedancia:** $$|Z| = \sqrt{3000^2 + 98^2} = \sqrt{9,000,000 + 9,604} = \sqrt{9,009,604} \approx 3001.6\ \Omega$$ $$\theta = \arctan\left(\frac{98}{3000}\right) \approx \arctan(0.0327) \approx 1.87^\circ$$ 5. **Cálculo de la amplitud de la corriente:** La amplitud de la corriente es: $$I_m = \frac{V_m}{|Z|} = \frac{300}{3001.6} \approx 0.0999\ \text{A}$$ 6. **Cálculo del ángulo de fase de la corriente:** El voltaje tiene un ángulo de $30^\circ$, la corriente se retrasa por el ángulo de la impedancia, entonces: $$\phi = 30^\circ - 1.87^\circ = 28.13^\circ$$ 7. **Expresión final de la corriente:** $$I(t) = 0.0999 \cos(1000 t + 28.13^\circ)\ \text{A}$$ --- **Respuesta final:** $$\boxed{I(t) = 0.1 \cos(1000 t + 28.13^\circ)\ \text{A}}$$ (Se redondea la amplitud a 0.1 A para simplificar)