1. **Planteamiento del problema:** Calcular la corriente $i(t)$ en un circuito RLC serie con los siguientes valores: - $R_1 = 1000\ \Omega$ - $R_2 = 2000\ \Omega$ - $L = 100\ \text{mH} = 0.1\ \text{H}$ - $C = 500\ \mu\text{F} = 500 \times 10^{-6}\ \text{F}$ - Voltaje aplicado: $V(t) = 300 \cos(1000 t + 30^\circ)$ 2. **Fórmulas y reglas importantes:** Para un circuito RLC serie, la impedancia total es: $$Z = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)$$ Donde $R$ es la resistencia total, $\omega$ la frecuencia angular, $L$ la inductancia y $C$ la capacitancia. La corriente en régimen senoidal es: $$i(t) = I_m \cos(\omega t + \phi)$$ con $$I_m = \frac{V_m}{|Z|}$$ $$\phi = \theta_V - \theta_Z$$ Donde $V_m$ es la amplitud del voltaje, $\theta_V$ su fase, $|Z|$ el módulo de la impedancia y $\theta_Z$ su ángulo. 3. **Cálculo de la impedancia total:** La resistencia total es la suma de $R_1$ y $R_2$: $$R = R_1 + R_2 = 1000 + 2000 = 3000\ \Omega$$ La frecuencia angular es $\omega = 1000\ \text{rad/s}$. Calculamos la reactancia inductiva: $$X_L = \omega L = 1000 \times 0.1 = 100\ \Omega$$ Calculamos la reactancia capacitiva: $$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{1000 \times 500 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.5} = 2\ \Omega$$ Por lo tanto, la parte imaginaria de la impedancia es: $$X = X_L - X_C = 100 - 2 = 98\ \Omega$$ 4. **Impedancia total:** $$Z = 3000 + j98$$ 5. **Módulo y ángulo de la impedancia:** $$|Z| = \sqrt{3000^2 + 98^2} = \sqrt{9000000 + 9604} = \sqrt{9009604} \approx 3001.6\ \Omega$$ $$\theta_Z = \arctan\left(\frac{98}{3000}\right) \approx \arctan(0.0327) \approx 1.87^\circ$$ 6. **Amplitud y fase de la corriente:** Amplitud del voltaje $V_m = 300$ y fase $\theta_V = 30^\circ$. Amplitud de la corriente: $$I_m = \frac{V_m}{|Z|} = \frac{300}{3001.6} \approx 0.1\ \text{A}$$ Fase de la corriente: $$\phi = \theta_V - \theta_Z = 30^\circ - 1.87^\circ = 28.13^\circ$$ 7. **Expresión final de la corriente:** $$i(t) = 0.1 \cos(1000 t + 28.13^\circ)\ \text{A}$$ --- **Respuesta final:** $$\boxed{i(t) = 0.1 \cos(1000 t + 28.13^\circ)\ \text{A}}$$