1. **Planteamiento del problema:** Se nos dan los campos electromagnéticos complejos $\vec{E}(r,z)$ y $\vec{H}(r,z)$ en un sector anular definido por $a \le r \le b$ y $\frac{\pi}{4} \le \varphi \le \frac{3\pi}{2}$. Debemos calcular la potencia activa y reactiva que atraviesa el plano en la dirección $\hat{z}$. 2. **Fórmulas y conceptos importantes:** La potencia compleja que atraviesa una superficie se calcula con el flujo del vector de Poynting complejo: $$\vec{S} = \frac{1}{2} \vec{E} \times \vec{H}^*$$ Donde $^*$ indica conjugado complejo. - La potencia activa (real) es: $$P = \iint \Re(\vec{S}) \cdot \hat{n} \, dS$$ - La potencia reactiva (imaginaria) es: $$Q = \iint \Im(\vec{S}) \cdot \hat{n} \, dS$$ En este caso, la superficie es el plano $z=0$ y la dirección normal es $\hat{z}$. 3. **Expresiones dadas:** $$\vec{H}(r,z) = \left(j \hat{\varphi} + \hat{r} \frac{A}{r \eta}\right) e^{-\gamma z}$$ $$\vec{E}(r,z) = \left(j \hat{z} - \hat{\varphi} \frac{A}{r}\right) e^{-\gamma z}$$ Para $a \le r \le b$ y $\frac{\pi}{4} \le \varphi \le \frac{3\pi}{2}$. 4. **Calcular $\vec{S} = \frac{1}{2} \vec{E} \times \vec{H}^*$:** Primero, calculamos el conjugado de $\vec{H}$: $$\vec{H}^* = \left(-j \hat{\varphi} + \hat{r} \frac{A}{r \eta}\right) e^{-\gamma^* z}$$ En $z=0$, $e^{-\gamma z} = 1$, así que: $$\vec{E} = j \hat{z} - \hat{\varphi} \frac{A}{r}$$ $$\vec{H}^* = -j \hat{\varphi} + \hat{r} \frac{A}{r \eta}$$ Calculamos el producto vectorial: $$\vec{E} \times \vec{H}^* = (j \hat{z} - \hat{\varphi} \frac{A}{r}) \times (-j \hat{\varphi} + \hat{r} \frac{A}{r \eta})$$ Expandimos: $$= j \hat{z} \times (-j \hat{\varphi}) + j \hat{z} \times \hat{r} \frac{A}{r \eta} - \hat{\varphi} \frac{A}{r} \times (-j \hat{\varphi}) - \hat{\varphi} \frac{A}{r} \times \hat{r} \frac{A}{r \eta}$$ Simplificamos cada término: - $j \hat{z} \times (-j \hat{\varphi}) = -j^2 \hat{z} \times \hat{\varphi} = -(-1) \hat{z} \times \hat{\varphi} = \hat{z} \times \hat{\varphi}$ - $j \hat{z} \times \hat{r} \frac{A}{r \eta} = j \frac{A}{r \eta} \hat{z} \times \hat{r}$ - $- \hat{\varphi} \frac{A}{r} \times (-j \hat{\varphi}) = j \frac{A}{r} \hat{\varphi} \times \hat{\varphi} = 0$ (producto vectorial de un vector consigo mismo es cero) - $- \hat{\varphi} \frac{A}{r} \times \hat{r} \frac{A}{r \eta} = - \frac{A^2}{r^2 \eta} \hat{\varphi} \times \hat{r}$ Recordando las reglas del producto vectorial en coordenadas cilíndricas: - $\hat{r} \times \hat{\varphi} = \hat{z}$ - $\hat{\varphi} \times \hat{r} = -\hat{z}$ - $\hat{z} \times \hat{r} = \hat{\varphi}$ - $\hat{z} \times \hat{\varphi} = -\hat{r}$ Entonces: - $\hat{z} \times \hat{\varphi} = -\hat{r}$ - $\hat{z} \times \hat{r} = \hat{\varphi}$ - $\hat{\varphi} \times \hat{r} = -\hat{z}$ Sustituimos: $$\vec{E} \times \vec{H}^* = \hat{z} \times \hat{\varphi} + j \frac{A}{r \eta} \hat{z} \times \hat{r} - \frac{A^2}{r^2 \eta} \hat{\varphi} \times \hat{r} = -\hat{r} + j \frac{A}{r \eta} \hat{\varphi} + \frac{A^2}{r^2 \eta} \hat{z}$$ 5. **Vector de Poynting complejo:** $$\vec{S} = \frac{1}{2} \vec{E} \times \vec{H}^* = \frac{1}{2} \left(-\hat{r} + j \frac{A}{r \eta} \hat{\varphi} + \frac{A^2}{r^2 \eta} \hat{z}\right)$$ 6. **Potencia en dirección $\hat{z}$:** Nos interesa la componente $\hat{z}$ de $\vec{S}$: $$S_z = \frac{1}{2} \frac{A^2}{r^2 \eta}$$ Es real, por lo que la potencia activa es: $$P = \iint S_z \, dS$$ El área del sector anular en coordenadas cilíndricas es: $$dS = r \, dr \, d\varphi$$ Con $r$ de $a$ a $b$ y $\varphi$ de $\frac{\pi}{4}$ a $\frac{3\pi}{2}$. 7. **Integral para potencia activa:** $$P = \int_{\varphi=\pi/4}^{3\pi/2} \int_{r=a}^b \frac{1}{2} \frac{A^2}{r^2 \eta} r \, dr \, d\varphi = \frac{A^2}{2 \eta} \int_{\pi/4}^{3\pi/2} \int_a^b \frac{1}{r} \, dr \, d\varphi$$ Primero la integral en $r$: $$\int_a^b \frac{1}{r} \, dr = \ln\left(\frac{b}{a}\right)$$ Luego la integral en $\varphi$: $$\int_{\pi/4}^{3\pi/2} d\varphi = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$$ Por tanto: $$P = \frac{A^2}{2 \eta} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \frac{5\pi}{4} = \frac{5 \pi A^2}{8 \eta} \ln\left(\frac{b}{a}\right)$$ 8. **Potencia reactiva:** La potencia reactiva es la parte imaginaria de $S_z$. Como $S_z$ es real, la potencia reactiva es cero: $$Q = 0$$ **Respuesta final:** $$\boxed{P = \frac{5 \pi A^2}{8 \eta} \ln\left(\frac{b}{a}\right), \quad Q = 0}$$