1. **Exercice 1 : Fonctions caractéristiques** Soit $E$ un ensemble et $A, B \subseteq E$. 1) Montrer que $1 - 1_A$ est la fonction caractéristique de $E \setminus A$. - Par définition, $1_A(x) = 1$ si $x \in A$, sinon $0$. - Donc, $(1 - 1_A)(x) = 1 - 1_A(x) = 0$ si $x \in A$, et $1$ sinon. - Cela correspond exactement à la fonction caractéristique de $E \setminus A$. 2) Montrer que $1_A 1_B$ est la fonction caractéristique de $A \cap B$. - $1_A(x)1_B(x) = 1$ si et seulement si $x \in A$ et $x \in B$. - Sinon, le produit est $0$. - Donc, $1_A 1_B$ est la fonction caractéristique de $A \cap B$. 3) Montrer que $1_A + 1_B - 1_A 1_B$ est la fonction caractéristique de $A \cup B$. - Pour $x \in A \cup B$, on a $1_A(x) + 1_B(x) - 1_A(x)1_B(x) = 1$. - Pour $x \notin A \cup B$, tous les termes sont $0$. - Cette expression correspond à la fonction caractéristique de $A \cup B$. 2. **Exercice 2 : Étude de la fonction $f(x) = \frac{2x}{1 + x^2}$** 1) Injectivité et surjectivité de $f$. - Étudions l'injectivité : Supposons $f(x) = f(y)$, soit $\frac{2x}{1+x^2} = \frac{2y}{1+y^2}$. En simplifiant, on obtient $x(1+y^2) = y(1+x^2)$. Cela donne $x + xy^2 = y + yx^2$. Réarrangeons : $x - y = yx^2 - xy^2 = xy(x - y)$. Si $x \neq y$, alors $1 = xy$, donc $y = \frac{1}{x}$. Or, $f(x) = f(\frac{1}{x})$ pour $x \neq 0$, donc $f$ n'est pas injective sur $\mathbb{R}$. - Surjectivité : Montrer que $f(\mathbb{R}) = [-1,1]$ (voir point 2). 2) Montrer que $f(\mathbb{R}) = [-1,1]$. - Étudions la borne supérieure et inférieure de $f$. - Posons $y = f(x) = \frac{2x}{1+x^2}$. - Pour $x \neq 0$, on peut écrire $y(1+x^2) = 2x$ soit $yx^2 - 2x + y = 0$. - En tant que polynôme en $x$, le discriminant doit être $\geq 0$ pour que $x$ soit réel : $$\Delta = (-2)^2 - 4 y^2 = 4 - 4 y^2 \geq 0 \implies 1 - y^2 \geq 0 \implies |y| \leq 1.$$ - Donc $f(\mathbb{R}) \subseteq [-1,1]$. - Pour $y \in [-1,1]$, le discriminant est positif, donc il existe $x$ tel que $f(x) = y$. - Ainsi, $f(\mathbb{R}) = [-1,1]$. 3) Montrer que la restriction $g : [-1,1] \to [-1,1]$, $g(x) = f(x)$ est une bijection. - Sur $[-1,1]$, $f$ est strictement croissante (car $f'(x) = \frac{2(1 - x^2)}{(1+x^2)^2}$ est positive pour $x \in (-1,1)$). - Donc $g$ est injective. - Comme $f([-1,1]) = [-1,1]$, $g$ est surjective. - Donc $g$ est bijective. 3. **Exercice 3 : Propriétés des images et antécédents** Soit $f : E \to F$. 1) Montrer que $\forall A \subseteq E$, $A \subseteq f^{-1}(f(A))$. - Pour $x \in A$, $f(x) \in f(A)$ par définition. - Donc $x \in f^{-1}(f(A))$. - Ainsi, $A \subseteq f^{-1}(f(A))$. 2) Montrer que $\forall B \subseteq F$, $f(f^{-1}(B)) \subseteq B$. - Pour $y \in f(f^{-1}(B))$, il existe $x \in f^{-1}(B)$ tel que $f(x) = y$. - Par définition de $f^{-1}(B)$, $f(x) \in B$. - Donc $y \in B$. - Ainsi, $f(f^{-1}(B)) \subseteq B$. 4. **Exercice 4 : Propriétés des antécédents d'ensembles** Soit $f : E \to F$ et $A, B \subseteq F$. 1) Montrer que $A \subseteq B \implies f^{-1}(A) \subseteq f^{-1}(B)$. - Si $x \in f^{-1}(A)$, alors $f(x) \in A$. - Comme $A \subseteq B$, $f(x) \in B$. - Donc $x \in f^{-1}(B)$. - Ainsi, $f^{-1}(A) \subseteq f^{-1}(B)$. 2) Montrer que $f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$. - $x \in f^{-1}(A \cap B) \iff f(x) \in A \cap B \iff f(x) \in A$ et $f(x) \in B$. - Donc $x \in f^{-1}(A)$ et $x \in f^{-1}(B)$. - Ainsi, $f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$. 3) Montrer que $f^{-1}(A \cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$. - $x \in f^{-1}(A \cup B) \iff f(x) \in A \cup B \iff f(x) \in A$ ou $f(x) \in B$. - Donc $x \in f^{-1}(A)$ ou $x \in f^{-1}(B)$. - Ainsi, $f^{-1}(A \cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$. **Réponses finales :** - Ex1 : $1 - 1_A = 1_{E \setminus A}$, $1_A 1_B = 1_{A \cap B}$, $1_A + 1_B - 1_A 1_B = 1_{A \cup B}$. - Ex2 : $f$ n'est pas injective sur $\mathbb{R}$, mais $f(\mathbb{R}) = [-1,1]$, et la restriction $g$ est bijective. - Ex3 : $A \subseteq f^{-1}(f(A))$, $f(f^{-1}(B)) \subseteq B$. - Ex4 : $A \subseteq B \Rightarrow f^{-1}(A) \subseteq f^{-1}(B)$, $f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$, $f^{-1}(A \cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$.