1. **Énoncé du problème :** Nous avons trois ensembles représentant des étudiants intéressés par trois matières différentes. Nous devons construire le diagramme de Venn correspondant et déterminer le nombre d'étudiants qui s'intéressent exactement à deux matières. 2. **Construction du diagramme de Venn :** Un diagramme de Venn à trois ensembles $A$, $B$, et $C$ est constitué de trois cercles qui se chevauchent partiellement. - Chaque cercle représente un ensemble d'étudiants intéressés par une matière. - Les zones d'intersection entre deux cercles représentent les étudiants intéressés par ces deux matières. - La zone d'intersection des trois cercles représente les étudiants intéressés par les trois matières. 3. **Définition mathématique de l'ensemble des étudiants intéressés exactement à deux matières :** L'ensemble des étudiants intéressés exactement à deux matières est donné par : $$ (A \cap B \cap C^{c}) \cup (A \cap C \cap B^{c}) \cup (B \cap C \cap A^{c}) $$ Cela signifie que nous prenons l'intersection de chaque paire d'ensembles, en excluant ceux qui sont dans le troisième ensemble. 4. **Explication :** - $A \cap B \cap C^{c}$ : étudiants dans $A$ et $B$ mais pas dans $C$. - $A \cap C \cap B^{c}$ : étudiants dans $A$ et $C$ mais pas dans $B$. - $B \cap C \cap A^{c}$ : étudiants dans $B$ et $C$ mais pas dans $A$. 5. **Conclusion :** Le nombre d'étudiants intéressés exactement par deux matières est la cardinalité de cet ensemble, soit : $$ |(A \cap B \cap C^{c}) \cup (A \cap C \cap B^{c}) \cup (B \cap C \cap A^{c})| $$ Cette expression permet de compter précisément les étudiants qui s'intéressent à deux matières sans compter ceux qui s'intéressent aux trois.