1. Énonçons le problème : Montrer que $$A \cap (B \setminus C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$$. 2. Rappel des propriétés des ensembles utilisées : - L'intersection $$\cap$$ correspond aux éléments communs aux deux ensembles. - La différence $$A \setminus B$$ correspond aux éléments de $$A$$ qui ne sont pas dans $$B$$. - La distributivité et les lois de De Morgan sont souvent utiles pour manipuler ces expressions. 3. Développons le membre de gauche : $$A \cap (B \setminus C) = A \cap (B \cap C^c)$$ où $$C^c$$ est le complémentaire de $$C$$. 4. Par associativité de l'intersection : $$= (A \cap B) \cap C^c$$. 5. Regardons le membre de droite : $$(A \setminus B) \cap (A \setminus C) = (A \cap B^c) \cap (A \cap C^c)$$. 6. Par associativité et commutativité : $$= A \cap B^c \cap A \cap C^c = A \cap A \cap B^c \cap C^c = A \cap B^c \cap C^c$$. 7. Comparons les deux membres : - Gauche : $$ (A \cap B) \cap C^c$$ - Droite : $$ A \cap B^c \cap C^c$$ 8. Ces deux ensembles ne sont pas égaux en général car $$B$$ et $$B^c$$ sont complémentaires. 9. Par contre, si la question était de montrer que $$A \cap (B \setminus C) = (A \cap B) \setminus C$$, alors : $$ (A \cap B) \setminus C = (A \cap B) \cap C^c$$, ce qui est égal au membre de gauche. 10. Conclusion : La propriété donnée $$A \cap (B \setminus C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$$ est fausse en général. 11. En revanche, la propriété correcte est : $$A \cap (B \setminus C) = (A \cap B) \setminus C$$. 12. Cette propriété est souvent utilisée dans les exercices pour simplifier les expressions d'ensembles.