1. Énoncé du problème : Réduire à sa forme canonique l'équation aux dérivées partielles suivante : $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 2 \frac{\partial u}{\partial x} + 2 \frac{\partial u}{\partial y} + u = 0$$ 2. Forme générale des solutions : Nous allons d'abord identifier le type de l'équation en étudiant la partie aux dérivées secondes. 3. Partie aux dérivées secondes : L'équation aux dérivées secondes est : $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$$ 4. Matrice associée : On associe la matrice symétrique : $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ car le terme mixte $2 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$ correspond à $2a_{12} \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$ avec $a_{12} = 1$. 5. Calcul des valeurs propres de $A$ : $$\det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 1 \\ 1 & 1 - \lambda \end{pmatrix} = (1 - \lambda)^2 - 1 = 0$$ 6. Résolution : $$ (1 - \lambda)^2 = 1 \Rightarrow 1 - \lambda = \pm 1 $$ Donc : - $1 - \lambda = 1 \Rightarrow \lambda = 0$ - $1 - \lambda = -1 \Rightarrow \lambda = 2$ 7. Valeurs propres : $$\lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 = 2$$ 8. Forme canonique : On diagonalise la partie aux dérivées secondes en changeant de variables pour éliminer le terme mixte. 9. Transformation des variables : Soit $\xi = x + y$ et $\eta = x - y$. 10. Calcul des dérivées partielles dans les nouvelles variables : $$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial \xi}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial \eta}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \eta} = \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta}$$ $$\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial \xi}{\partial y} \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial \eta}{\partial y} \frac{\partial}{\partial \eta} = \frac{\partial}{\partial \xi} - \frac{\partial}{\partial \eta}$$ 11. Calcul des dérivées secondes : $$\frac{\partial^2}{\partial x^2} = \left(\frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta}\right)^2 = \frac{\partial^2}{\partial \xi^2} + 2 \frac{\partial^2}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2}{\partial \eta^2}$$ $$\frac{\partial^2}{\partial y^2} = \left(\frac{\partial}{\partial \xi} - \frac{\partial}{\partial \eta}\right)^2 = \frac{\partial^2}{\partial \xi^2} - 2 \frac{\partial^2}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2}{\partial \eta^2}$$ $$\frac{\partial^2}{\partial x \partial y} = \left(\frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta}\right) \left(\frac{\partial}{\partial \xi} - \frac{\partial}{\partial \eta}\right) = \frac{\partial^2}{\partial \xi^2} - \frac{\partial^2}{\partial \eta^2}$$ 12. Substitution dans la partie aux dérivées secondes : $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \left(\frac{\partial^2}{\partial \xi^2} + 2 \frac{\partial^2}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2}{\partial \eta^2}\right) u + 2 \left(\frac{\partial^2}{\partial \xi^2} - \frac{\partial^2}{\partial \eta^2}\right) u + \left(\frac{\partial^2}{\partial \xi^2} - 2 \frac{\partial^2}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2}{\partial \eta^2}\right) u$$ 13. Simplification : Les termes en $\frac{\partial^2}{\partial \xi \partial \eta}$ s'annulent : $$2 \frac{\partial^2}{\partial \xi \partial \eta} u - 2 \frac{\partial^2}{\partial \xi \partial \eta} u = 0$$ Les autres termes : $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = (1 + 2 + 1) \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + (1 - 2 + 1) \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} = 4 \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + 0$$ 14. Conclusion : La partie aux dérivées secondes se réduit à : $$4 \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2}$$ 15. Forme canonique de l'équation : L'équation devient : $$4 \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + 2 \left(\frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta}\right) u + 2 \left(\frac{\partial}{\partial \xi} - \frac{\partial}{\partial \eta}\right) u + u = 0$$ 16. Simplification des termes en dérivées premières : $$2 \frac{\partial u}{\partial \xi} + 2 \frac{\partial u}{\partial \eta} + 2 \frac{\partial u}{\partial \xi} - 2 \frac{\partial u}{\partial \eta} = 4 \frac{\partial u}{\partial \xi} + 0$$ 17. Équation finale en variables $(\xi, \eta)$ : $$4 \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + 4 \frac{\partial u}{\partial \xi} + u = 0$$ 18. Cette équation est une équation différentielle ordinaire en $\xi$ pour chaque valeur de $\eta$. --- 2. Énoncé du problème : Résoudre l'équation différentielle ordinaire suivante en utilisant la transformée de Laplace : $$y'' + 4y = \sin 2x$$ 3. Formule utilisée : La transformée de Laplace de $y''$ est : $$\mathcal{L}\{y''\} = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)$$ 4. Hypothèses : Supposons conditions initiales nulles pour simplifier : $$y(0) = 0, \quad y'(0) = 0$$ 5. Application de la transformée de Laplace : $$s^2 Y(s) + 4 Y(s) = \mathcal{L}\{\sin 2x\}$$ 6. Transformée de $\sin 2x$ : $$\mathcal{L}\{\sin 2x\} = \frac{2}{s^2 + 4}$$ 7. Équation algébrique : $$Y(s)(s^2 + 4) = \frac{2}{s^2 + 4}$$ 8. Simplification : $$Y(s) = \frac{2}{(s^2 + 4)^2}$$ 9. Inverse de la transformée de Laplace : On utilise la formule connue : $$\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{2}{(s^2 + 4)^2} \right\} = y(x)$$ 10. Résultat : La solution est : $$y(x) = \frac{1}{4} x \sin 2x$$ --- **Réponses finales :** - Forme canonique de l'équation aux dérivées partielles : $$4 \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + 4 \frac{\partial u}{\partial \xi} + u = 0$$ - Solution de l'équation différentielle par transformée de Laplace : $$y(x) = \frac{1}{4} x \sin 2x$$