1. **Énoncé du problème :** Soit l'équation aux dérivées partielles (EDP) suivante : $$(E) : x^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2xy \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + y^2 \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$$ 2. **Objectif i) : Montrer que (E) peut se réduire à $\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} = 0$.** - On cherche un changement de variables $(\xi, \eta)$ tel que l'équation s'écrive sous la forme $\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} = 0$. - L'équation est de type hyperbolique, par la forme quadratique associée : $$A = x^2, \quad B = xy, \quad C = y^2$$ - Le discriminant est $\Delta = B^2 - AC = (xy)^2 - x^2 y^2 = 0$, donc l'équation est parabolique. - On cherche des variables caractéristiques $\eta = \eta(x,y)$ telles que l'opérateur différentiel s'annule sauf en $\partial^2 / \partial \eta^2$. - En posant $\eta = \frac{y}{x}$, on calcule les dérivées partielles : $$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial \eta}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \eta} + \frac{\partial \xi}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \xi}$$ - En effet, avec $\eta = \frac{y}{x}$, on a $$\frac{\partial \eta}{\partial x} = -\frac{y}{x^2} = -\frac{\eta}{x}, \quad \frac{\partial \eta}{\partial y} = \frac{1}{x}$$ - En substituant dans (E), on montre que l'équation se réduit à $$\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} = 0$$ 3. **Objectif ii) : Déterminer les fonctions $u$ de classe $C^2$ sur $]0,+\infty[^2$ avec $\alpha = x$ et $\beta = \frac{x}{y}$.** - On pose $u = u(\alpha, \beta)$ avec $\alpha = x$, $\beta = \frac{x}{y}$. - Calcul des dérivées partielles via la chaîne : $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \alpha} \frac{\partial \alpha}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \beta} \frac{\partial \beta}{\partial x} = u_\alpha + u_\beta \frac{1}{y}$$ $$\frac{\partial u}{\partial y} = u_\beta \frac{\partial \beta}{\partial y} = u_\beta \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -u_\beta \frac{\beta}{y}$$ - En calculant les dérivées secondes et en substituant dans (E), on obtient une équation simplifiée en $u_{\alpha \alpha}$ et $u_{\beta \beta}$. - La résolution montre que $u$ est affine en $\beta$ : $$u(\alpha, \beta) = f(\alpha) + g(\alpha) \beta$$ - En revenant aux variables $(x,y)$, la solution générale est $$u(x,y) = f(x) + g(x) \frac{x}{y}$$ avec $f$ et $g$ fonctions de classe $C^2$ sur $]0,+\infty[$. **Réponse finale :** $$\boxed{u(x,y) = f(x) + g(x) \frac{x}{y}}$$