1. Il problema di Cauchy dato è $$y' = y \left(\frac{1}{t} + 2\right) + \frac{1}{4t}, \quad y(-1) = 1.$$\n\n2. Questo è un problema di equazione differenziale lineare del primo ordine della forma $$y' + p(t)y = q(t),$$ dove $$p(t) = -\left(\frac{1}{t} + 2\right)$$ e $$q(t) = \frac{1}{4t}.$$\n\n3. Riscriviamo l'equazione in forma standard:\n$$y' - y\left(\frac{1}{t} + 2\right) = \frac{1}{4t}.$$\n\n4. Calcoliamo il fattore integrante $$\mu(t)$$ definito come $$\mu(t) = e^{\int p(t) dt} = e^{-\int \left(\frac{1}{t} + 2\right) dt} = e^{-\left(\ln|t| + 2t\right)} = e^{-\ln|t|} e^{-2t} = \frac{e^{-2t}}{|t|}.$$\n\n5. Moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per $$\mu(t)$$:\n$$\frac{e^{-2t}}{|t|} y' - y \frac{e^{-2t}}{|t|} \left(\frac{1}{t} + 2\right) = \frac{1}{4t} \frac{e^{-2t}}{|t|}.$$\n\n6. Osserviamo che il lato sinistro è la derivata del prodotto $$\frac{d}{dt} \left(y \frac{e^{-2t}}{|t|}\right)$$, quindi:\n$$\frac{d}{dt} \left(y \frac{e^{-2t}}{|t|}\right) = \frac{e^{-2t}}{4 t |t|}.$$\n\n7. Integrare entrambi i membri rispetto a $$t$$:\n$$y \frac{e^{-2t}}{|t|} = \int \frac{e^{-2t}}{4 t |t|} dt + C.$$\n\n8. Poiché $$t < 0$$ nel punto iniziale $$t = -1$$, abbiamo $$|t| = -t$$, quindi:\n$$y \frac{e^{-2t}}{-t} = \int \frac{e^{-2t}}{4 t (-t)} dt + C = \int -\frac{e^{-2t}}{4 t^2} dt + C.$$\n\n9. L'integrale $$\int -\frac{e^{-2t}}{4 t^2} dt$$ non ha una primitiva elementare semplice, quindi lasciamo l'espressione integrale come tale.\n\n10. Applichiamo la condizione iniziale $$y(-1) = 1$$ per trovare $$C$$:\n$$1 \cdot \frac{e^{2}}{1} = \int_{-1}^{-1} -\frac{e^{-2t}}{4 t^2} dt + C \Rightarrow C = e^{2}.$$\n\n11. La soluzione implicita è quindi:\n$$y(t) = -t e^{2t} \left( \int_{-1}^t \frac{e^{-2s}}{4 s^2} ds - e^{2} \right).$$\n\n12. Questa è la soluzione del problema di Cauchy espressa in forma integrale.