1. **Planteamiento del problema:** Se tienen tres fuerzas actuando sobre un pasador en el origen con magnitudes y ángulos dados: - $F_1 = 30$ lb a $45^\circ$ desde el eje negativo $x$ (es decir, $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ desde el eje positivo $x$). - $F_2 = 40$ lb a $115^\circ$ desde el eje negativo $x$ (es decir, $180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$ desde el eje positivo $x$). - $F_3 = 25$ lb a $15^\circ$ desde el eje positivo $x$. El objetivo es encontrar la magnitud y dirección de la fuerza resultante. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** Para sumar fuerzas vectoriales, descomponemos cada fuerza en sus componentes $x$ y $y$: $$F_x = F \cos(\theta)$$ $$F_y = F \sin(\theta)$$ La fuerza resultante es: $$R_x = \sum F_x$$ $$R_y = \sum F_y$$ La magnitud de la fuerza resultante es: $$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$$ La dirección $\alpha$ (medida en sentido de las manecillas del reloj desde el eje positivo $x$) se calcula con: $$\alpha = 360^\circ - \arctan\left(\frac{R_y}{R_x}\right)$$ si $R_y > 0$ y $R_x > 0$, o ajustando según el cuadrante. 3. **Descomposición de fuerzas:** - Para $F_1$ a $135^\circ$: $$F_{1x} = 30 \cos 135^\circ = 30 \times (-0.7071) = -21.213$$ $$F_{1y} = 30 \sin 135^\circ = 30 \times 0.7071 = 21.213$$ - Para $F_2$ a $65^\circ$: $$F_{2x} = 40 \cos 65^\circ = 40 \times 0.4226 = 16.904$$ $$F_{2y} = 40 \sin 65^\circ = 40 \times 0.9063 = 36.252$$ - Para $F_3$ a $15^\circ$: $$F_{3x} = 25 \cos 15^\circ = 25 \times 0.9659 = 24.148$$ $$F_{3y} = 25 \sin 15^\circ = 25 \times 0.2588 = 6.470$$ 4. **Suma de componentes:** $$R_x = F_{1x} + F_{2x} + F_{3x} = -21.213 + 16.904 + 24.148 = 19.839$$ $$R_y = F_{1y} + F_{2y} + F_{3y} = 21.213 + 36.252 + 6.470 = 63.935$$ 5. **Cálculo de la magnitud de la fuerza resultante:** $$R = \sqrt{19.839^2 + 63.935^2} = \sqrt{393.58 + 4086.88} = \sqrt{4480.46} = 66.94$$ 6. **Cálculo de la dirección:** Primero calculamos el ángulo desde el eje positivo $x$ en sentido contrario a las manecillas del reloj: $$\theta = \arctan\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \arctan\left(\frac{63.935}{19.839}\right) = 72.5^\circ$$ Como $R_x > 0$ y $R_y > 0$, el vector está en el primer cuadrante. La dirección medida en sentido de las manecillas del reloj desde el eje positivo $x$ es: $$\alpha = 360^\circ - 72.5^\circ = 287.5^\circ$$ **Respuesta final:** La magnitud de la fuerza resultante es aproximadamente $66.94$ lb y su dirección es $287.5^\circ$ medida en sentido de las manecillas del reloj desde el eje positivo $x$.