1. **Planteamiento del problema:** Se tiene un conjunto de 70 industrias divididas en medianas y pequeñas. Se conoce la distribución del capital para 30 industrias medianas con frecuencias y capitales agrupados en intervalos. 2. **Datos dados:** - Intervalos de capital $X_i$: 100-200, 200-300, 300-400, 400-500, 500-600 (en millones de Bs). - Frecuencias $f_i$: 2, 7, 11, 7, 3 (total $\sum f_i=30$). - Capital promedio para medianas (aproximado por intervalos medios): 600-700, 700-800, 800-900, 900-1000, 1000-1100 (en millones de Bs), con suma total $\sum=240$. 3. **Objetivo:** Calcular el capital promedio total de las 70 industrias, usando la media aritmética de las medianas y pequeñas y luego la media total. 4. **Paso 1: Calcular la media aritmética del capital para las industrias medianas.** Se usa la fórmula de la media para datos agrupados: $$\bar{X} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$$ Donde $x_i$ es el punto medio del intervalo de capital para medianas. 5. **Calcular puntos medios $x_i$ para capital de medianas:** - 600-700: $\frac{600+700}{2} = 650$ - 700-800: $\frac{700+800}{2} = 750$ - 800-900: $\frac{800+900}{2} = 850$ - 900-1000: $\frac{900+1000}{2} = 950$ - 1000-1100: $\frac{1000+1100}{2} = 1050$ 6. **Calcular $\sum f_i x_i$ para medianas:** $$\sum f_i x_i = 2\times650 + 7\times750 + 11\times850 + 7\times950 + 3\times1050$$ $$= 1300 + 5250 + 9350 + 6650 + 3150 = 25700$$ 7. **Calcular media para medianas:** $$\bar{X}_{medianas} = \frac{25700}{30} = 856.67$$ millones de Bs 8. **Paso 2: Calcular la media para las industrias pequeñas.** Se sabe que hay 70 industrias en total y 30 medianas, por lo que hay $70 - 30 = 40$ pequeñas. 9. **Calcular la media para pequeñas usando la suma total de capital $\sum = 240$ (millones de Bs) para medianas:** Aquí parece que $\sum=240$ es la suma de capital para medianas, pero no está claro el capital para pequeñas. Sin embargo, el problema indica hallar la media total aplicando la propiedad de la media ponderada. 10. **Suposición:** El capital promedio para pequeñas es el punto medio de los intervalos $X_i$ (100-200, 200-300, 300-400, 400-500, 500-600) con frecuencias $f_i$ (2,7,11,7,3) sumando 30, pero el problema no da capital para pequeñas explícitamente. 11. **Calcular puntos medios para pequeñas:** - 100-200: 150 - 200-300: 250 - 300-400: 350 - 400-500: 450 - 500-600: 550 12. **Calcular $\sum f_i x_i$ para pequeñas:** $$\sum f_i x_i = 2\times150 + 7\times250 + 11\times350 + 7\times450 + 3\times550$$ $$= 300 + 1750 + 3850 + 3150 + 1650 = 10700$$ 13. **Calcular media para pequeñas:** $$\bar{X}_{pequenas} = \frac{10700}{30} = 356.67$$ millones de Bs 14. **Paso 3: Calcular la media total ponderada para las 70 industrias:** $$\bar{X}_{total} = \frac{n_{medianas} \times \bar{X}_{medianas} + n_{pequenas} \times \bar{X}_{pequenas}}{n_{medianas} + n_{pequenas}}$$ $$= \frac{30 \times 856.67 + 40 \times 356.67}{70}$$ 15. **Calcular numerador:** $$30 \times 856.67 = 25700$$ $$40 \times 356.67 = 14266.8$$ $$\Rightarrow 25700 + 14266.8 = 39966.8$$ 16. **Calcular media total:** $$\bar{X}_{total} = \frac{39966.8}{70} = 571.0$$ millones de Bs **Respuesta final:** El capital promedio total de las 70 industrias es aproximadamente **571.0 millones de Bs**.