1. **Planteamiento del problema:** Tenemos una población normal con media $\mu = 110$ y desviación estándar $\sigma = 10$. Se selecciona una muestra de tamaño $n = 25$. Queremos calcular: - El error estándar de la media. - La probabilidad de que la media muestral sea mayor que 108. - La probabilidad de que la media muestral sea menor que 105. - La probabilidad de que la media muestral esté entre 108 y 112. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** El error estándar de la media (EEM) se calcula como: $$EEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ La media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución normal con media $\mu$ y desviación estándar $EEM$. Para calcular probabilidades, usamos la variable estandarizada $Z$: $$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{EEM}$$ 3. **Cálculo del error estándar de la media:** $$EEM = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$$ 4. **Probabilidad de que la media muestral sea mayor que 108:** Calculamos $Z$: $$Z = \frac{108 - 110}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ La probabilidad buscada es: $$P(\bar{X} > 108) = P(Z > -1) = 1 - P(Z \leq -1)$$ Usando la tabla normal, $P(Z \leq -1) = 0.1587$, entonces: $$P(\bar{X} > 108) = 1 - 0.1587 = 0.8413$$ 5. **Probabilidad de que la media muestral sea menor que 105:** Calculamos $Z$: $$Z = \frac{105 - 110}{2} = \frac{-5}{2} = -2.5$$ La probabilidad es: $$P(\bar{X} < 105) = P(Z < -2.5) = 0.0062$$ 6. **Probabilidad de que la media muestral esté entre 108 y 112:** Calculamos $Z$ para ambos límites: $$Z_1 = \frac{108 - 110}{2} = -1$$ $$Z_2 = \frac{112 - 110}{2} = 1$$ La probabilidad es: $$P(108 < \bar{X} < 112) = P(-1 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -1)$$ Usando la tabla normal, $P(Z < 1) = 0.8413$ y $P(Z < -1) = 0.1587$, entonces: $$P(108 < \bar{X} < 112) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826$$ **Respuesta final:** - Error estándar de la media: 2.0000 - $P(\bar{X} > 108) = 0.8413$ - $P(\bar{X} < 105) = 0.0062$ - $P(108 < \bar{X} < 112) = 0.6826$