1. **Planteamiento del problema:** Se tiene una población con media $\mu = 22$ y desviación estándar $\sigma = 3.2$. Se toma una muestra de tamaño $n = 25$. Queremos calcular: - El error estándar de la media. - La probabilidad de que la media muestral esté entre 21 y 23.5. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - El error estándar de la media (EEM) se calcula como: $$EEM = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ - La distribución de la media muestral es normal con media $\mu$ y desviación estándar $EEM$. - Para calcular probabilidades, usamos la variable estandarizada $Z$: $$Z = \frac{X - \mu}{EEM}$$ 3. **Cálculo del error estándar de la media:** $$EEM = \frac{3.2}{\sqrt{25}} = \frac{3.2}{5} = 0.64$$ 4. **Cálculo de la probabilidad:** Queremos $P(21 \leq \bar{X} \leq 23.5)$. Convertimos a $Z$: $$Z_1 = \frac{21 - 22}{0.64} = \frac{-1}{0.64} = -1.5625$$ $$Z_2 = \frac{23.5 - 22}{0.64} = \frac{1.5}{0.64} = 2.3438$$ 5. **Usamos la tabla de la distribución normal estándar:** - $P(Z \leq -1.5625) = 0.0591$ (aprox.) - $P(Z \leq 2.3438) = 0.9906$ (aprox.) 6. **Probabilidad buscada:** $$P(-1.5625 \leq Z \leq 2.3438) = P(Z \leq 2.3438) - P(Z \leq -1.5625) = 0.9906 - 0.0591 = 0.9315$$ **Respuesta final:** - Error estándar de la media: $0.6400$ - Probabilidad de que la media muestral esté entre 21 y 23.5: $0.9315$