1. **Ejercicio 1a: Concepto de intervalo de confianza** El intervalo de confianza es un rango de valores que, con un nivel de certeza dado (por ejemplo, 95%), contiene el valor verdadero de un parámetro poblacional desconocido. Ejemplo: En un estudio sobre la satisfacción de turistas, se calcula un intervalo de confianza del 95% para la media de satisfacción, que va de 7.5 a 8.5. Esto significa que estamos 95% seguros de que la media real de satisfacción está entre esos valores. 2. **Ejercicio 1b: Información del Teorema del Límite Central** Este teorema indica que, para muestras suficientemente grandes, la distribución de la media muestral se aproxima a una distribución normal, independientemente de la distribución original de los datos. 3. **Ejercicio 1c: Uso de una prueba de hipótesis** Sirve para tomar decisiones sobre una afirmación acerca de un parámetro poblacional, evaluando si la evidencia muestral es suficiente para rechazar una hipótesis inicial. 4. **Ejercicio 1d: Modelo de regresión lineal** Es una herramienta que permite describir y predecir la relación lineal entre una variable dependiente y una o más variables independientes. 5. **Ejercicio 2: Distribución de medias muestrales y error típico** Datos población: 6, 6, 8, 4, 4, 7 - Tamaño de la muestra $n=4$ - Calcular todas las combinaciones posibles de muestras de tamaño 4 y sus medias: Combinaciones y medias: (6,6,8,4): $\frac{6+6+8+4}{4}=6$ (6,6,8,4): 6 (repetida) (6,6,8,7): $\frac{6+6+8+7}{4}=6.75$ (6,6,4,4): $\frac{6+6+4+4}{4}=5$ (6,6,4,7): $\frac{6+6+4+7}{4}=5.75$ (6,8,4,4): $\frac{6+8+4+4}{4}=5.5$ (6,8,4,7): $\frac{6+8+4+7}{4}=6.25$ (6,8,7,4): 6.25 (6,4,4,7): 5.25 (6,4,7,7): 6 (6,4,7,8): 6.25 (6,7,4,4): 5.25 (6,7,4,7): 6 (6,7,7,8): 7 (6,4,7,8): 6.25 (8,4,4,7): 5.75 (8,4,7,7): 6.5 (8,4,7,8): 6.75 (8,7,4,7): 6.5 (8,7,7,8): 7.5 (4,4,7,7): 5.5 (4,4,7,8): 5.75 (4,7,7,8): 6.5 (7,7,8,6): 7 - Media poblacional $\mu = \frac{6+6+8+4+4+7}{6} = \frac{35}{6} \approx 5.83$ - Varianza poblacional $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{6} = \frac{(6-5.83)^2 + (6-5.83)^2 + (8-5.83)^2 + (4-5.83)^2 + (4-5.83)^2 + (7-5.83)^2}{6} \approx 2.14$ - Error típico (desviación estándar de la media muestral) $= \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{2.14}}{2} \approx 0.73$ 6. **Ejercicio 3: Intervalo de confianza del 95% para la media** - Muestra de 64 estudiantes con datos dados. - Calcular media muestral $\bar{x}$ y desviación estándar $s$. Sumando todos los datos: $\sum x_i = 512$ Media muestral $\bar{x} = \frac{512}{64} = 8$ Calcular varianza muestral $s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1} = 3.2$ (aproximado) Desviación estándar $s = \sqrt{3.2} \approx 1.79$ Intervalo de confianza del 95%: $$\bar{x} \pm z_{0.025} \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 8 \pm 1.96 \times \frac{1.79}{8} = 8 \pm 0.44$$ Intervalo: $[7.56, 8.44]$ 7. **Ejercicio 4: Prueba de hipótesis para tiempo promedio menor a 1000 segundos** - Hipótesis nula $H_0: \mu = 1000$ - Hipótesis alternativa $H_a: \mu < 1000$ - Muestra: 995, 998, 1002, 997, 1001, 996, 994, 999, 995, 998 Media muestral $\bar{x} = \frac{995+998+1002+997+1001+996+994+999+995+998}{10} = 997.5$ Desviación estándar muestral $s \approx 2.56$ Estadístico de prueba: $$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{997.5 - 1000}{2.56/\sqrt{10}} = \frac{-2.5}{0.81} \approx -3.09$$ Con $\alpha=0.05$ y $df=9$, valor crítico $t_{0.05} = -1.833$ Como $t < t_{0.05}$, rechazamos $H_0$. Hay evidencia suficiente para afirmar que el tiempo promedio es menor a 1000 segundos. 8. **Ejercicio 5a: Diagrama de dispersión** Se grafican las horas de investigación (x) contra las calificaciones (y) para visualizar la relación positiva. 9. **Ejercicio 5b: Ecuación de regresión lineal y estimación** Datos: $$\bar{x} = 6.5, \quad \bar{y} = 74.5$$ Calcular pendiente $b$: $$b = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} = \frac{290}{82.5} \approx 3.52$$ Intercepto $a$: $$a = \bar{y} - b \bar{x} = 74.5 - 3.52 \times 6.5 = 51.12$$ Ecuación: $$y = 51.12 + 3.52x$$ Para $x=12$ horas: $$y = 51.12 + 3.52 \times 12 = 93.36$$ Respuesta: La calificación esperada es aproximadamente 93.36.