1. **Planteamiento del problema:** Se tiene un conjunto de 35 datos que representan el consumo máximo de memoria RAM (en MB) de diferentes aplicaciones. Se pide construir la tabla de distribución de frecuencias agrupadas, y calcular la media aritmética, la mediana, la moda y el histograma para estos datos agrupados. 2. **Organización de los datos:** Datos: 5.5, 12.1, 18.0, 25.4, 15.2, 8.8, 19.3, 14.7, 9.9, 21.0, 7.6, 16.5, 23.1, 10.5, 17.0, 20.4, 11.2, 6.8, 24.5, 13.9, 18.2, 8.1, 19.6, 14.0, 22.8, 16.9, 12.5, 9.0, 15.8, 21.5, 10.1, 17.4, 13.3, 20.8, 11.7 3. **Paso 1: Determinar el rango y número de clases** - Rango $R = \max - \min = 25.4 - 5.5 = 19.9$ - Número de clases (aproximado usando regla de Sturges): $k = 1 + 3.322 \log_{10}(35) \approx 6$ - Amplitud de clase $h = \frac{R}{k} = \frac{19.9}{6} \approx 3.32$ 4. **Paso 2: Construir las clases y contar frecuencias** Clases (intervalos): - 5.5 a 8.82 - 8.82 a 12.14 - 12.14 a 15.46 - 15.46 a 18.78 - 18.78 a 22.10 - 22.10 a 25.42 Frecuencias (contar datos en cada clase): - 5.5-8.82: 5.5, 7.6, 6.8, 8.1 (4 datos) - 8.82-12.14: 8.8, 9.9, 10.5, 11.2, 9.0, 10.1, 11.7 (7 datos) - 12.14-15.46: 12.1, 14.7, 13.9, 14.0, 13.3, 12.5 (6 datos) - 15.46-18.78: 18.0, 15.2, 16.5, 17.0, 16.9, 15.8, 17.4, 18.2 (8 datos) - 18.78-22.10: 19.3, 21.0, 20.4, 19.6, 20.8, 21.5 (6 datos) - 22.10-25.42: 23.1, 24.5, 22.8, 25.4 (4 datos) 5. **Paso 3: Calcular marcas de clase $x_i$** - $x_1 = \frac{5.5 + 8.82}{2} = 7.16$ - $x_2 = \frac{8.82 + 12.14}{2} = 10.48$ - $x_3 = \frac{12.14 + 15.46}{2} = 13.80$ - $x_4 = \frac{15.46 + 18.78}{2} = 17.12$ - $x_5 = \frac{18.78 + 22.10}{2} = 20.44$ - $x_6 = \frac{22.10 + 25.42}{2} = 23.76$ 6. **Paso 4: Calcular la media aritmética para datos agrupados** Fórmula: $$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$$ Donde $f_i$ es la frecuencia de la clase y $x_i$ la marca de clase. Cálculo: $$\sum f_i x_i = 4 \times 7.16 + 7 \times 10.48 + 6 \times 13.80 + 8 \times 17.12 + 6 \times 20.44 + 4 \times 23.76$$ $$= 28.64 + 73.36 + 82.8 + 136.96 + 122.64 + 95.04 = 539.44$$ $$\sum f_i = 4 + 7 + 6 + 8 + 6 + 4 = 35$$ Media: $$\bar{x} = \frac{539.44}{35} \approx 15.41$$ 7. **Paso 5: Calcular la mediana para datos agrupados** Fórmula: $$L + \left( \frac{\frac{n}{2} - F}{f_m} \right) h$$ Donde: - $L$ es el límite inferior de la clase mediana - $n$ es el total de datos - $F$ es la frecuencia acumulada antes de la clase mediana - $f_m$ es la frecuencia de la clase mediana - $h$ es la amplitud de clase La clase mediana es la que contiene el dato número $\frac{35}{2} = 17.5$. Frecuencias acumuladas: - Clase 1: 4 - Clase 2: 11 - Clase 3: 17 - Clase 4: 25 El dato 17.5 está en la clase 4 (15.46 a 18.78), con: - $L = 15.46$ - $F = 17$ - $f_m = 8$ - $h = 3.32$ Cálculo: $$15.46 + \left( \frac{17.5 - 17}{8} \right) 3.32 = 15.46 + \left( \frac{0.5}{8} \right) 3.32 = 15.46 + 0.2075 = 15.67$$ 8. **Paso 6: Calcular la moda para datos agrupados** Fórmula: $$L + \left( \frac{f_1}{f_1 + f_2} \right) h$$ Donde: - $L$ es el límite inferior de la clase modal - $f_1$ es la diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia anterior - $f_2$ es la diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia siguiente - $h$ es la amplitud de clase La clase modal es la de mayor frecuencia: clase 4 con frecuencia 8. Frecuencias vecinas: - Anterior (clase 3): 6 - Siguiente (clase 5): 6 Cálculo: $$f_1 = 8 - 6 = 2$$ $$f_2 = 8 - 6 = 2$$ $$\text{Moda} = 15.46 + \left( \frac{2}{2 + 2} \right) 3.32 = 15.46 + 0.5 \times 3.32 = 15.46 + 1.66 = 17.12$$ 9. **Paso 7: Histograma** Se construye un histograma con las clases en el eje horizontal y las frecuencias en el eje vertical. Las barras tienen alturas proporcionales a las frecuencias: - 5.5-8.82: 4 - 8.82-12.14: 7 - 12.14-15.46: 6 - 15.46-18.78: 8 - 18.78-22.10: 6 - 22.10-25.42: 4 **Resumen final:** - Media aritmética $\approx 15.41$ - Mediana $\approx 15.67$ - Moda $\approx 17.12$ Estos valores resumen el consumo máximo de memoria RAM para las aplicaciones estudiadas.