1. Planteamiento del problema: Tenemos un conjunto de datos de tiempos de permanencia en un sitio web (n=32) y queremos: a) Calcular el rango. b) Estimar el número de clases usando el método de Sturges. c) Definir la amplitud y límites de clase. d) Construir la tabla de frecuencia agrupada con marca de clase. Luego, con la tabla, estimar media, mediana, moda, varianza y desviación estándar, e interpretar cada medida. 2. Datos: $\{2,3,4,4,4,5,6,7,8,8,9,9,10,10,11,12,12,13,13,14,15,16,18,18,19,20,21,22,24,25,27,30\}$ 3. a) Calcular el rango: El rango es la diferencia entre el valor máximo y mínimo: $$\text{Rango} = \max - \min = 30 - 2 = 28$$ 4. b) Estimar número de clases (Sturges): La fórmula de Sturges es: $$m = 1 + \log_2(n)$$ Donde $n=32$. Calculamos: $$m = 1 + \log_2(32) = 1 + 5 = 6$$ 5. c) Definir amplitud y límites: La amplitud $a$ se calcula como: $$a = \frac{\text{Rango}}{m} = \frac{28}{6} \approx 4.67$$ Redondeamos a 5 para facilitar. Límites de clase: - Clase 1: 2 a 6.99 - Clase 2: 7 a 11.99 - Clase 3: 12 a 16.99 - Clase 4: 17 a 21.99 - Clase 5: 22 a 26.99 - Clase 6: 27 a 31.99 6. d) Tabla de frecuencia agrupada con marca de clase: Calculamos frecuencia absoluta $f_i$, frecuencia acumulada $F_i$, y marca de clase $x_i$ (punto medio de cada clase). | Clase | Límites | Marca $x_i$ | Frecuencia $f_i$ | Frecuencia acumulada $F_i$ | |-------|---------|-------------|------------------|----------------------------| | 1 | 2-6.99 | $\frac{2+6.99}{2}=4.495$ | 7 (2,3,4,4,4,5,6) | 7 | | 2 | 7-11.99 | $\frac{7+11.99}{2}=9.495$ | 6 (7,8,8,9,9,10,10,11) 8 datos, pero 11 es límite superior, incluimos 11 | 7+8=15 | | 3 | 12-16.99| $\frac{12+16.99}{2}=14.495$ | 6 (12,12,13,13,14,15,16) 7 datos, 16 incluido | 15+7=22 | | 4 | 17-21.99| $\frac{17+21.99}{2}=19.495$ | 5 (18,18,19,20,21) | 22+5=27 | | 5 | 22-26.99| $\frac{22+26.99}{2}=24.495$ | 3 (22,24,25) | 27+3=30 | | 6 | 27-31.99| $\frac{27+31.99}{2}=29.495$ | 2 (27,30) | 30+2=32 | 7. Segunda parte: Estimar media, mediana, moda, varianza y desviación estándar usando marcas de clase. - Media: $$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{n} = \frac{7\times4.495 + 8\times9.495 + 7\times14.495 + 5\times19.495 + 3\times24.495 + 2\times29.495}{32}$$ Calculamos numerador: $$7\times4.495=31.465,\quad 8\times9.495=75.96,\quad 7\times14.495=101.465,\quad 5\times19.495=97.475,\quad 3\times24.495=73.485,\quad 2\times29.495=58.99$$ Sumamos: $$31.465 + 75.96 + 101.465 + 97.475 + 73.485 + 58.99 = 438.84$$ Entonces: $$\bar{x} = \frac{438.84}{32} \approx 13.71$$ - Mediana: La mediana está en la clase donde la frecuencia acumulada supera $\frac{n}{2} = 16$. La clase 3 tiene $F_i=22$ que es la primera mayor que 16. Límites de clase 3: $12$ a $16.99$, frecuencia $f_3=7$, frecuencia acumulada anterior $F_2=15$. Fórmula mediana: $$M = L + \left( \frac{\frac{n}{2} - F_{anterior}}{f_i} \right) \times a$$ Donde: $L=12$, $n=32$, $F_{anterior}=15$, $f_i=7$, $a=5$ Calculamos: $$M = 12 + \left( \frac{16 - 15}{7} \right) \times 5 = 12 + \frac{1}{7} \times 5 = 12 + 0.714 = 12.71$$ - Moda: La clase modal es la de mayor frecuencia, que es la clase 2 con $f_2=8$. Límites clase 2: $7$ a $11.99$, $a=5$. Frecuencias vecinas: $f_1=7$, $f_3=7$. Fórmula moda: $$Mo = L + \left( \frac{f_m - f_{anterior}}{(f_m - f_{anterior}) + (f_m - f_{siguiente})} \right) \times a$$ Calculamos: $$Mo = 7 + \left( \frac{8 - 7}{(8 - 7) + (8 - 7)} \right) \times 5 = 7 + \frac{1}{2} \times 5 = 7 + 2.5 = 9.5$$ - Varianza y desviación estándar: Primero calculamos $\sum f_i x_i^2$: $$7\times4.495^2 = 7\times20.20=141.4$$ $$8\times9.495^2 = 8\times90.17=721.36$$ $$7\times14.495^2 = 7\times210.07=1470.49$$ $$5\times19.495^2 = 5\times380.17=1900.85$$ $$3\times24.495^2 = 3\times599.99=1799.97$$ $$2\times29.495^2 = 2\times869.94=1739.88$$ Sumamos: $$141.4 + 721.36 + 1470.49 + 1900.85 + 1799.97 + 1739.88 = 7773.95$$ Varianza: $$s^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{n} - \bar{x}^2 = \frac{7773.95}{32} - 13.71^2 = 242.94 - 188.00 = 54.94$$ Desviación estándar: $$s = \sqrt{54.94} \approx 7.41$$ 8. Interpretación: - Rango: Indica la dispersión total de los datos. - Número de clases: Nos ayuda a organizar los datos en intervalos adecuados. - Media: Valor promedio, centro de los datos. - Mediana: Valor central que divide los datos en dos partes iguales. - Moda: Valor más frecuente, indica tendencia central. - Varianza y desviación estándar: Miden la dispersión o variabilidad de los datos alrededor de la media.