1. **Planteamiento del problema:** Se tiene una serie estadística con los tiempos (en minutos) que tardan empleados en llegar al trabajo y sus frecuencias. | Tiempo ($x_i$) | Frecuencia ($f_i$) | |----------------|--------------------| | 25 | 6 | | 26 | 10 | | 27 | 22 | | 28 | 20 | | 29 | 12 | | 30 | 10 | Se pide: a) Construir la tabla de distribución de frecuencia. b) Calcular las medidas de tendencia central: media, mediana y moda. c) Calcular las medidas de dispersión: varianza y desviación estándar. 2. **a) Tabla de Distribución de Frecuencia:** | Tiempo ($x_i$) | Frecuencia ($f_i$) | $f_i x_i$ | $f_i x_i^2$ | |----------------|--------------------|-----------|-------------| | 25 | 6 | $6 \times 25 = 150$ | $6 \times 25^2 = 6 \times 625 = 3750$ | | 26 | 10 | $10 \times 26 = 260$ | $10 \times 26^2 = 10 \times 676 = 6760$ | | 27 | 22 | $22 \times 27 = 594$ | $22 \times 27^2 = 22 \times 729 = 16038$ | | 28 | 20 | $20 \times 28 = 560$ | $20 \times 28^2 = 20 \times 784 = 15680$ | | 29 | 12 | $12 \times 29 = 348$ | $12 \times 29^2 = 12 \times 841 = 10092$ | | 30 | 10 | $10 \times 30 = 300$ | $10 \times 30^2 = 10 \times 900 = 9000$ | Sumamos frecuencias: $N = 6 + 10 + 22 + 20 + 12 + 10 = 80$ Sumamos $f_i x_i$: $150 + 260 + 594 + 560 + 348 + 300 = 2212$ Sumamos $f_i x_i^2$: $3750 + 6760 + 16038 + 15680 + 10092 + 9000 = 61220$ 3. **b) Medidas de tendencia central:** - **Media ($\bar{x}$):** $$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{2212}{80} = 27.65$$ - **Mediana:** La posición de la mediana es $\frac{N+1}{2} = \frac{80+1}{2} = 40.5$-ésimo dato. Calculamos frecuencias acumuladas: | Tiempo | $f_i$ | $F_i$ (acumulada) | |--------|-------|-------------------| | 25 | 6 | 6 | | 26 | 10 | 16 | | 27 | 22 | 38 | | 28 | 20 | 58 | | 29 | 12 | 70 | | 30 | 10 | 80 | El dato 40.5 está en el intervalo de tiempo 28 (porque $F_i$ pasa de 38 a 58). Por lo tanto, la mediana es 28. - **Moda:** La moda es el valor con mayor frecuencia, que es 27 con frecuencia 22. 4. **c) Medidas de dispersión:** - **Varianza ($\sigma^2$):** $$\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - \left(\bar{x}\right)^2 = \frac{61220}{80} - (27.65)^2 = 765.25 - 764.2225 = 1.0275$$ - **Desviación estándar ($\sigma$):** $$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{1.0275} \approx 1.0137$$ **Respuesta final:** - Media: $27.65$ - Mediana: $28$ - Moda: $27$ - Varianza: $1.0275$ - Desviación estándar: $1.0137$