1. **Planteamiento del problema:** Se tiene una distribución normal con desviación típica $\sigma=5$ horas y una muestra de tamaño $n=81$. El intervalo de confianza para la media poblacional es $(10.794, 13.206)$ con un nivel de confianza del 97%. 2. **Fórmula del intervalo de confianza para la media cuando $\sigma$ es conocida:** $$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Donde: - $\bar{x}$ es la media muestral - $z_{\alpha/2}$ es el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de confianza - $\sigma$ es la desviación típica poblacional - $n$ es el tamaño de la muestra 3. **a) Obtener la media muestral $\bar{x}$:** El intervalo de confianza es simétrico respecto a $\bar{x}$, por lo que: $$\bar{x} = \frac{10.794 + 13.206}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ 4. **b) Efecto de aumentar el tamaño de la muestra en la amplitud del intervalo:** La amplitud del intervalo es: $$2 \times z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Si $n$ aumenta, $\sqrt{n}$ aumenta, por lo que la fracción $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ disminuye. Por tanto, la amplitud del intervalo disminuye manteniendo el nivel de confianza. 5. **c) Efecto de cambiar el nivel de confianza manteniendo el tamaño muestral:** El nivel de confianza afecta a $z_{\alpha/2}$. - Si se reduce el nivel de confianza, $z_{\alpha/2}$ disminuye. - Por tanto, la amplitud del intervalo disminuye. - Si se aumenta el nivel de confianza, la amplitud aumenta. 6. **d) Calcular el tamaño máximo de la muestra para que el intervalo contenga la media poblacional $\mu=10.2$ horas, con $\bar{x}=12$ y nivel de confianza 97%:** Primero, calculamos $z_{\alpha/2}$ para 97% de confianza: $$\alpha = 1 - 0.97 = 0.03 \Rightarrow \alpha/2 = 0.015$$ El valor crítico es aproximadamente: $$z_{0.015} = 2.17$$ El intervalo es: $$12 \pm 2.17 \frac{5}{\sqrt{n}}$$ Queremos que $10.2$ esté dentro del intervalo, es decir: $$12 - 2.17 \frac{5}{\sqrt{n}} \leq 10.2$$ Despejamos: $$12 - 10.2 \leq 2.17 \frac{5}{\sqrt{n}}$$ $$1.8 \leq 2.17 \frac{5}{\sqrt{n}}$$ Multiplicamos ambos lados por $\sqrt{n}$: $$1.8 \sqrt{n} \leq 2.17 \times 5$$ $$1.8 \sqrt{n} \leq 10.85$$ Dividimos ambos lados por 1.8: $$\sqrt{n} \leq \frac{10.85}{1.8}$$ $$\sqrt{n} \leq 6.03$$ Elevamos al cuadrado: $$n \leq 6.03^2 = 36.36$$ Por tanto, el tamaño máximo de la muestra es aproximadamente $n=36$ para que el intervalo contenga la media poblacional con 97% de confianza. **Respuesta final:** - a) $\bar{x} = 12$ horas - b) La amplitud del intervalo disminuye al aumentar el tamaño de la muestra - c) Para reducir la amplitud manteniendo $n$, se debe reducir el nivel de confianza - d) Tamaño máximo de la muestra $n \approx 36$