1. Planteamiento del problema: Se tiene una variable aleatoria $X$ con distribución Normal, media desconocida $\mu$ y desviación típica $\sigma=3$ días. Se pide: (i) Calcular un intervalo de confianza para $\mu$ con nivel de confianza 97% usando una muestra de tamaño $n=100$ con media muestral $\bar{x}=8.1$ días. (ii) Determinar el tamaño mínimo de muestra para estimar $\mu$ con error máximo 1 día y nivel de confianza 92%. 2. Fórmulas y reglas importantes: Para un intervalo de confianza para la media con desviación típica conocida, se usa: $$IC = \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Donde $z_{\alpha/2}$ es el valor crítico de la distribución Normal estándar para un nivel de confianza $1-\alpha$. Para el tamaño de muestra con error máximo $E$: $$n = \left(\frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}\right)^2$$ 3. Cálculo del intervalo de confianza (i): Nivel de confianza 97% implica $\alpha=0.03$, entonces $\alpha/2=0.015$. Buscamos $z_{0.015}$ tal que $P(Z > z_{0.015})=0.015$. De tablas o calculadora, $z_{0.015} \approx 2.17$. Calculamos el error estándar: $$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{100}} = \frac{3}{10} = 0.3$$ Intervalo: $$IC = 8.1 \pm 2.17 \times 0.3 = 8.1 \pm 0.651$$ Por lo tanto: $$IC = (8.1 - 0.651, 8.1 + 0.651) = (7.449, 8.751)$$ 4. Cálculo del tamaño mínimo de muestra (ii): Nivel de confianza 92% implica $\alpha=0.08$, entonces $\alpha/2=0.04$. Buscamos $z_{0.04}$ tal que $P(Z > z_{0.04})=0.04$. De tablas o calculadora, $z_{0.04} \approx 1.75$. Error máximo $E=1$ día. Calculamos: $$n = \left(\frac{1.75 \times 3}{1}\right)^2 = (5.25)^2 = 27.5625$$ Redondeando al entero superior: $$n = 28$$ 5. Resumen: (i) Intervalo de confianza 97% para $\mu$ es $$ (7.449, 8.751) $$ días. (ii) Tamaño mínimo de muestra para error menor a 1 día y confianza 92% es $$28$$.