1. **Planteamiento del problema:** Se tienen dos muestras relacionadas (pre y post) de rendimiento de trabajadores. Se quiere determinar si la nueva técnica de gestión mejora el rendimiento usando un intervalo de confianza para la diferencia de medias con un nivel de significancia del 10%. 2. **Datos:** Pre: $8, 12, 14, 11, 16, 6, 11, 9, 10, 10, 19, 12, 17$ Post: $9, 16, 23, 21, 17, 10, 14, 8, 11, 12, 19, 16, 16$ 3. **Paso 1: Calcular las diferencias $d_i = post_i - pre_i$:** $$d = (1, 4, 9, 10, 1, 4, 3, -1, 1, 2, 0, 4, -1)$$ 4. **Paso 2: Calcular la media y desviación estándar de las diferencias:** $$\bar{d} = \frac{1+4+9+10+1+4+3-1+1+2+0+4-1}{13} = \frac{37}{13} \approx 2.846$$ Calcular la varianza: $$s_d^2 = \frac{1}{n-1} \sum (d_i - \bar{d})^2$$ Calculamos cada $(d_i - \bar{d})^2$ y sumamos: $$(1-2.846)^2 + (4-2.846)^2 + \cdots + (-1-2.846)^2 = 120.462$$ Entonces: $$s_d^2 = \frac{120.462}{12} = 10.0385$$ $$s_d = \sqrt{10.0385} \approx 3.169$$ 5. **Paso 3: Calcular el intervalo de confianza para la diferencia de medias con $\alpha=0.10$ (nivel de confianza 90%) y $n=13$:** Usamos la distribución t de Student con $df = n-1 = 12$. Valor crítico $t_{0.05,12} \approx 1.782$ (dos colas, 90% confianza). Fórmula: $$IC = \bar{d} \pm t_{\alpha/2, n-1} \times \frac{s_d}{\sqrt{n}}$$ Calculamos el margen de error: $$ME = 1.782 \times \frac{3.169}{\sqrt{13}} = 1.782 \times 0.879 = 1.566$$ Intervalo: $$2.846 - 1.566 = 1.280$$ $$2.846 + 1.566 = 4.412$$ 6. **Respuesta a la parte I:** - a) Límite inferior: $1.280$ - b) Límite superior: $4.412$ - c) Como el intervalo no incluye 0 y es positivo, hay evidencia de que la técnica mejora el rendimiento. 7. **Parte II: Intervalo de confianza para la media del post con 95% de confianza:** Datos post: $$9, 16, 23, 21, 17, 10, 14, 8, 11, 12, 19, 16, 16$$ Media: $$\bar{x} = \frac{9+16+23+21+17+10+14+8+11+12+19+16+16}{13} = \frac{192}{13} \approx 14.769$$ Varianza y desviación estándar: Calculamos sumatoria de $(x_i - \bar{x})^2$: $$\sum (x_i - 14.769)^2 = 254.923$$ $$s^2 = \frac{254.923}{12} = 21.244$$ $$s = \sqrt{21.244} = 4.609$$ Valor crítico para 95% y 12 grados de libertad: $$t_{0.025,12} = 2.179$$ Margen de error: $$ME = 2.179 \times \frac{4.609}{\sqrt{13}} = 2.179 \times 1.278 = 2.783$$ Intervalo: $$14.769 - 2.783 = 11.986$$ $$14.769 + 2.783 = 17.552$$ 8. **Respuesta a la parte II:** - d) Límite inferior: $11.986$ - e) Límite superior: $17.552$ - f) El valor 11 no está dentro del intervalo, por lo que no se puede asegurar que el promedio post sea 11 puntos.