1. Planteamiento del problema: Queremos construir un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional del gasto mensual y realizar una prueba de hipótesis para determinar si el gasto medio es significativamente inferior a 500. 2. Fórmulas y reglas importantes: - Para el intervalo de confianza de la media con muestra grande, usamos la fórmula: $$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$$ - Para la prueba de hipótesis: - Hipótesis nula: $H_0: \mu = 500$ - Hipótesis alternativa: $H_a: \mu < 500$ - Estadístico de prueba: $$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$$ - Nivel de significancia $\alpha = 0.05$ 3. Datos: - $\bar{x} = 498$ - $s = 5$ - $n = 100$ - $\mu_0 = 500$ 4. Construcción del intervalo de confianza del 95%: - Valor crítico $z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$ - Error estándar: $$\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} = 0.5$$ - Intervalo: $$498 \pm 1.96 \times 0.5 = 498 \pm 0.98$$ - Intervalo de confianza: $$[498 - 0.98, 498 + 0.98] = [497.02, 498.98]$$ 5. Prueba de hipótesis: - Estadístico de prueba: $$z = \frac{498 - 500}{5/\sqrt{100}} = \frac{\cancel{498 - 500}}{\cancel{5/10}} = \frac{-2}{0.5} = -4$$ - Valor crítico para cola izquierda $z_{0.05} = -1.645$ - Como $z = -4 < -1.645$, rechazamos $H_0$. 6. Conclusión: - El intervalo de confianza del 95% para la media poblacional es $[497.02, 498.98]$. - La prueba de hipótesis indica que el gasto medio real es significativamente inferior a 500 con un nivel de significancia del 0.05.