1. Planteamiento del problema: Queremos calcular intervalos de confianza para la media poblacional $\mu$ basándonos en muestras y conociendo la desviación típica o usando la desviación muestral. 2. Fórmula general del intervalo de confianza para la media cuando $\sigma$ es conocida o $n$ es grande: $$\left( \overline{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \quad \overline{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Donde: - $\overline{X}$ es la media muestral. - $z_{\alpha/2}$ es el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de confianza deseado. - $\sigma$ es la desviación típica poblacional (o $s$ si se usa la muestra y $n$ es grande). - $n$ es el tamaño de la muestra. 3. Problema 1: - Datos: $n=100$, $\overline{x}=705$, $s=120$, nivel de confianza 99% $\Rightarrow z_{\alpha/2}=2.575$. - Intervalo: $$\left(705 - 2.575 \cdot \frac{120}{\sqrt{100}}, \quad 705 + 2.575 \cdot \frac{120}{\sqrt{100}}\right)$$ 4. Cálculo intermedio: $$\frac{120}{\sqrt{100}} = \frac{120}{10} = 12$$ $$2.575 \cdot 12 = 30.9$$ 5. Intervalo numérico: $$\left(705 - 30.9, \quad 705 + 30.9\right) = (674.1, 735.9)$$ 6. Interpretación: Con un 99% de confianza, la media de ingresos mensuales está entre 674.1 y 735.9. 7. Problema 2: - Datos: $n=200$, $\overline{x}=8$, $s=6$, nivel de significación 5% $\Rightarrow z_{\alpha/2}=1.96$. - Intervalo: $$\left(8 - 1.96 \cdot \frac{6}{\sqrt{200}}, \quad 8 + 1.96 \cdot \frac{6}{\sqrt{200}}\right)$$ 8. Cálculo intermedio: $$\sqrt{200} \approx 14.1421$$ $$\frac{6}{14.1421} \approx 0.4243$$ $$1.96 \cdot 0.4243 \approx 0.8316$$ 9. Intervalo numérico: $$\left(8 - 0.8316, \quad 8 + 0.8316\right) = (7.17, 8.83)$$ 10. Interpretación: Con un 95% de confianza, la media de asistencia está entre 7.17 y 8.83. Estos intervalos nos permiten estimar la media poblacional con un nivel de confianza dado, usando la media y desviación de la muestra y el tamaño de la misma.