1. El problema nos presenta una muestra de gallinas con pesos agrupados en intervalos y sus frecuencias. Debemos analizar la distribución y calcular moda, mediana, media, varianza y porcentaje. 2. El gráfico mostrado es un histograma, ya que representa frecuencias de datos agrupados en intervalos. 3. La variable estadística estudiada es el peso de las gallinas (en kg) y el tamaño de la muestra es la suma de frecuencias: $$11 + 13 + 15 + 9 + 2 = 50$$ gallinas. 4. Para encontrar la moda (Mo), identificamos la clase modal, que es la de mayor frecuencia. La frecuencia máxima es 15 en el intervalo 2-2.5 kg. 5. Para calcular la mediana (Me), primero calculamos la frecuencia acumulada: - 1-1.5: 11 - 1.5-2: 11 + 13 = 24 - 2-2.5: 24 + 15 = 39 - 2.5-3: 39 + 9 = 48 - 3-3.5: 48 + 2 = 50 La mediana corresponde al valor que ocupa la posición $$\frac{n}{2} = \frac{50}{2} = 25$$ en la distribución ordenada. La clase mediana es la que contiene la posición 25, que es el intervalo 2-2.5 kg. Usamos la fórmula de la mediana para datos agrupados: $$Me = L + \left(\frac{\frac{n}{2} - F}{f_m}\right) \times h$$ Donde: - $L = 2$ es el límite inferior de la clase mediana - $n = 50$ es el tamaño de la muestra - $F = 24$ es la frecuencia acumulada antes de la clase mediana - $f_m = 15$ es la frecuencia de la clase mediana - $h = 0.5$ es el ancho del intervalo Calculamos: $$Me = 2 + \left(\frac{25 - 24}{15}\right) \times 0.5 = 2 + \frac{1}{15} \times 0.5 = 2 + 0.0333 = 2.0333$$ kg 6. Para calcular el peso medio $\bar{x}$, usamos los puntos medios de cada intervalo: - 1-1.5: punto medio $= \frac{1 + 1.5}{2} = 1.25$ - 1.5-2: punto medio $= \frac{1.5 + 2}{2} = 1.75$ - 2-2.5: punto medio $= \frac{2 + 2.5}{2} = 2.25$ - 2.5-3: punto medio $= \frac{2.5 + 3}{2} = 2.75$ - 3-3.5: punto medio $= \frac{3 + 3.5}{2} = 3.25$ Multiplicamos cada punto medio por su frecuencia y sumamos: $$\sum f_i x_i = 11 \times 1.25 + 13 \times 1.75 + 15 \times 2.25 + 9 \times 2.75 + 2 \times 3.25$$ $$= 13.75 + 22.75 + 33.75 + 24.75 + 6.5 = 101.5$$ El peso medio es: $$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{n} = \frac{101.5}{50} = 2.03$$ kg 7. Para la varianza $\sigma^2$, calculamos $\sum f_i x_i^2$: $$11 \times (1.25)^2 + 13 \times (1.75)^2 + 15 \times (2.25)^2 + 9 \times (2.75)^2 + 2 \times (3.25)^2$$ $$= 11 \times 1.5625 + 13 \times 3.0625 + 15 \times 5.0625 + 9 \times 7.5625 + 2 \times 10.5625$$ $$= 17.1875 + 39.8125 + 75.9375 + 68.0625 + 21.125 = 222.125$$ La varianza es: $$\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{n} - \bar{x}^2 = \frac{222.125}{50} - (2.03)^2 = 4.4425 - 4.1209 = 0.3216$$ kg$^2$ 8. El porcentaje de gallinas que pesan entre 2 y 3 kg es la suma de frecuencias de los intervalos 2-2.5 y 2.5-3: $$15 + 9 = 24$$ Porcentaje: $$\frac{24}{50} \times 100 = 48\%$$ Respuesta final: - El gráfico es un histograma. - Variable: peso (kg), tamaño muestra: 50. - Moda $Mo = 2-2.5$ kg. - Mediana $Me = 2.03$ kg. - Peso medio $\bar{x} = 2.03$ kg. - Varianza $\sigma^2 = 0.32$ kg$^2$. - Porcentaje entre 2 y 3 kg: 48%.