1. El problema nos presenta un histograma con frecuencias para pesos de gallinas en intervalos de kilogramos y nos pide calcular moda, mediana, media, varianza y porcentaje. 2. La variable es cuantitativa continua y la muestra tiene tamaño $n=50$ (suma de frecuencias: $8+10+15+10+7=50$). 3. Para la moda en datos agrupados, usamos la fórmula: $$Mo = L + \frac{(f_1 - f_0)}{(2f_1 - f_0 - f_2)} \times h$$ Donde: - $L$ es el límite inferior de la clase modal - $f_1$ es la frecuencia de la clase modal - $f_0$ es la frecuencia de la clase anterior - $f_2$ es la frecuencia de la clase siguiente - $h$ es el ancho del intervalo La clase modal es la que tiene mayor frecuencia: $15$ en $[2, 2.5)$. Entonces: $L=2$, $f_1=15$, $f_0=10$, $f_2=10$, $h=0.5$ Calculamos: $$Mo = 2 + \frac{(15 - 10)}{(2 \times 15 - 10 - 10)} \times 0.5 = 2 + \frac{5}{20} \times 0.5 = 2 + 0.125 = 2.125$$ 4. Para la mediana, primero encontramos la clase mediana. La posición es $\frac{n}{2} = 25$. Sumamos frecuencias acumuladas: - $8$ (hasta 1.5) - $8+10=18$ (hasta 2) - $18+15=33$ (hasta 2.5) La clase mediana es $[2, 2.5)$ porque $25$ está entre $18$ y $33$. Fórmula para la mediana: $$Me = L + \frac{\frac{n}{2} - F}{f_m} \times h$$ Donde: - $L=2$ (límite inferior clase mediana) - $F=18$ (frecuencia acumulada antes de clase mediana) - $f_m=15$ (frecuencia clase mediana) - $h=0.5$ Calculamos: $$Me = 2 + \frac{25 - 18}{15} \times 0.5 = 2 + \frac{7}{15} \times 0.5 = 2 + 0.2333 = 2.2333$$ 5. Para el peso medio $\bar{x}$, usamos los puntos medios de cada clase: - $1.25$ para $[1,1.5)$ - $1.75$ para $[1.5,2)$ - $2.25$ para $[2,2.5)$ - $2.75$ para $[2.5,3)$ - $3.25$ para $[3,3.5)$ Calculamos la media: $$\bar{x} = \frac{1.25 \times 8 + 1.75 \times 10 + 2.25 \times 15 + 2.75 \times 10 + 3.25 \times 7}{50}$$ $$= \frac{10 + 17.5 + 33.75 + 27.5 + 22.75}{50} = \frac{111.5}{50} = 2.23$$ 6. Para la varianza $\sigma^2$: $$\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{n}$$ Calculamos cada término: - $(1.25 - 2.23)^2 = 0.9604$, $0.9604 \times 8 = 7.6832$ - $(1.75 - 2.23)^2 = 0.2304$, $0.2304 \times 10 = 2.304$ - $(2.25 - 2.23)^2 = 0.0004$, $0.0004 \times 15 = 0.006$ - $(2.75 - 2.23)^2 = 0.2704$, $0.2704 \times 10 = 2.704$ - $(3.25 - 2.23)^2 = 1.0404$, $1.0404 \times 7 = 7.2828$ Sumamos: $$7.6832 + 2.304 + 0.006 + 2.704 + 7.2828 = 19.98$$ Dividimos por $n=50$: $$\sigma^2 = \frac{19.98}{50} = 0.3996$$ 7. Porcentaje de gallinas entre 2 y 3 kilos: Frecuencia entre $2$ y $3$ es $15 + 10 = 25$. Porcentaje: $$\frac{25}{50} \times 100 = 50\%$$ **Respuesta final:** - Moda $Mo = 2.125$ kg - Mediana $Me = 2.2333$ kg - Media $\bar{x} = 2.23$ kg - Varianza $\sigma^2 = 0.3996$ kg$^2$ - Porcentaje entre 2 y 3 kg = 50 %