1. **Planteamiento del problema:** Se registraron 60 lanzamientos de un dado y se obtuvieron frecuencias para cada resultado del 1 al 6. Se pide calcular las probabilidades experimentales y decidir si el dado es justo. 2. **Cálculo de probabilidades experimentales:** La probabilidad experimental de un resultado es la frecuencia de ese resultado dividida por el total de lanzamientos. 3. **Fórmula:** $$P(\text{resultado}) = \frac{\text{frecuencia del resultado}}{\text{total de lanzamientos}}$$ 4. **Cálculo para cada resultado:** - $P(1) = \frac{5}{60} = \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{60}^{12}} = \frac{1}{12} \approx 0.0833$ - $P(2) = \frac{14}{60} = \frac{7}{30} \approx 0.2333$ - $P(3) = \frac{9}{60} = \frac{3}{20} = 0.15$ - $P(4) = \frac{13}{60} \approx 0.2167$ - $P(5) = \frac{8}{60} = \frac{2}{15} \approx 0.1333$ - $P(6) = \frac{11}{60} \approx 0.1833$ 5. **Definición del criterio para decidir si el dado es justo:** Un dado justo tiene probabilidad teórica $P=\frac{1}{6} \approx 0.1667$ para cada cara. 6. **Criterio propio:** Usaremos la prueba de chi-cuadrado para comparar frecuencias observadas con las esperadas bajo la hipótesis de dado justo. 7. **Fórmula de chi-cuadrado:** $$\chi^2 = \sum_{i=1}^6 \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$$ Donde $O_i$ es la frecuencia observada y $E_i$ la frecuencia esperada para la cara $i$. 8. **Frecuencias esperadas:** $$E_i = \text{total lanzamientos} \times P(\text{cara justa}) = 60 \times \frac{1}{6} = 10$$ 9. **Cálculo de $\chi^2$:** $$\chi^2 = \frac{(5-10)^2}{10} + \frac{(14-10)^2}{10} + \frac{(9-10)^2}{10} + \frac{(13-10)^2}{10} + \frac{(8-10)^2}{10} + \frac{(11-10)^2}{10}$$ $$= \frac{25}{10} + \frac{16}{10} + \frac{1}{10} + \frac{9}{10} + \frac{4}{10} + \frac{1}{10} = 2.5 + 1.6 + 0.1 + 0.9 + 0.4 + 0.1 = 5.6$$ 10. **Justificación del criterio:** La prueba chi-cuadrado es válida para evaluar si las diferencias entre frecuencias observadas y esperadas son debidas al azar o a un sesgo. 11. **Nivel de error aceptado:** Usamos un nivel de significancia $\alpha = 0.05$ (5%), común en pruebas estadísticas. 12. **Decisión:** Para 5 grados de libertad (6 caras - 1), el valor crítico de $\chi^2$ a $\alpha=0.05$ es aproximadamente 11.07. 13. **Conclusión:** Como $5.6 < 11.07$, no rechazamos la hipótesis de dado justo al nivel de error 5%. Por lo tanto, no hay evidencia suficiente para decir que el dado es injusto. **Respuesta final:** - Probabilidades experimentales calculadas. - Dado parece justo según prueba chi-cuadrado con nivel de error 5%.