1. **Planteamiento del problema:** Se tiene una población donde el 15% ($p=0.15$) están sometidos a un tipo de dieta. Se toma una muestra aleatoria de tamaño $n=100$. Se pide calcular: - El error estándar de la proporción. - La probabilidad de que la proporción muestral sea mayor a 0.20. - La probabilidad de que la proporción muestral sea menor a 0.12. - La probabilidad de que la proporción muestral esté entre 0.10 y 0.20. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - El error estándar (desviación estándar de la proporción muestral) se calcula con: $$SE=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$ - La proporción muestral sigue aproximadamente una distribución normal para muestras grandes. - Para calcular probabilidades, se usa la transformación a la variable $Z$: $$Z=\frac{\hat{p}-p}{SE}$$ 3. **Cálculo del error estándar:** $$SE=\sqrt{\frac{0.15(1-0.15)}{100}}=\sqrt{\frac{0.15\times0.85}{100}}=\sqrt{\frac{0.1275}{100}}=\sqrt{0.001275}=0.0357$$ 4. **Probabilidad de que la proporción sea mayor a 0.20:** Calculamos el valor $Z$: $$Z=\frac{0.20-0.15}{0.0357}=\frac{0.05}{0.0357}=1.40$$ Buscamos $P(\hat{p}>0.20)=P(Z>1.40)$. Usando tabla normal estándar o calculadora: $$P(Z>1.40)=1-P(Z\leq1.40)=1-0.9192=0.0808$$ 5. **Probabilidad de que la proporción sea menor a 0.12:** Calculamos $Z$: $$Z=\frac{0.12-0.15}{0.0357}=\frac{-0.03}{0.0357}=-0.84$$ Entonces: $$P(\hat{p}<0.12)=P(Z<-0.84)=0.2005$$ 6. **Probabilidad de que la proporción esté entre 0.10 y 0.20:** Calculamos $Z$ para ambos límites: $$Z_1=\frac{0.10-0.15}{0.0357}=-1.40$$ $$Z_2=\frac{0.20-0.15}{0.0357}=1.40$$ La probabilidad es: $$P(0.10<\hat{p}<0.20)=P(-1.400.20)=0.0808$ - $P(\hat{p}<0.12)=0.2005$ - $P(0.10<\hat{p}<0.20)=0.8384$