1. Planteamos el problema: calcular la recta de regresión de Y sobre X para los datos dados y estimar la calificación para 28 horas de estudio. 2. Fórmulas importantes: - La recta de regresión de Y sobre X es $\hat{Y} = a + bX$ donde $$b = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2}$$ $$a = \bar{Y} - b\bar{X}$$ - $\bar{X}$ y $\bar{Y}$ son las medias de X y Y respectivamente. 3. Calculamos las medias: $$\bar{X} = \frac{20 + 16 + 34 + 23 + 27 + 32 + 18 + 22}{8} = \frac{192}{8} = 24$$ $$\bar{Y} = \frac{6.5 + 6 + 8.5 + 7 + 9 + 9.5 + 7.5 + 8}{8} = \frac{62}{8} = 7.75$$ 4. Calculamos $\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})$ y $\sum (X_i - \bar{X})^2$: | $X_i$ | $Y_i$ | $X_i - \bar{X}$ | $Y_i - \bar{Y}$ | $(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})$ | $(X_i - \bar{X})^2$ | |-------|-------|-----------------|-----------------|-------------------------------|-------------------| | 20 | 6.5 | 20 - 24 = -4 | 6.5 - 7.75 = -1.25 | $-4 \times -1.25 = 5$ | $(-4)^2 = 16$ | | 16 | 6 | -8 | -1.75 | 14 | 64 | | 34 | 8.5 | 10 | 0.75 | 7.5 | 100 | | 23 | 7 | -1 | -0.75 | 0.75 | 1 | | 27 | 9 | 3 | 1.25 | 3.75 | 9 | | 32 | 9.5 | 8 | 1.75 | 14 | 64 | | 18 | 7.5 | -6 | -0.25 | 1.5 | 36 | | 22 | 8 | -2 | 0.25 | -0.5 | 4 | Sumamos: $$\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = 5 + 14 + 7.5 + 0.75 + 3.75 + 14 + 1.5 - 0.5 = 45$$ $$\sum (X_i - \bar{X})^2 = 16 + 64 + 100 + 1 + 9 + 64 + 36 + 4 = 294$$ 5. Calculamos la pendiente $b$: $$b = \frac{45}{294} = \frac{\cancel{45}}{\cancel{294}} = 0.1531$$ 6. Calculamos la ordenada al origen $a$: $$a = 7.75 - 0.1531 \times 24 = 7.75 - 3.6744 = 4.0756$$ 7. La recta de regresión es: $$\hat{Y} = 4.0756 + 0.1531X$$ 8. Para estimar la calificación con 28 horas de estudio: $$\hat{Y} = 4.0756 + 0.1531 \times 28 = 4.0756 + 4.2868 = 8.3624$$ Respuesta final: - Recta de regresión: $\hat{Y} = 4.0756 + 0.1531X$ - Calificación estimada para 28 horas: $8.36$ (aproximadamente)