1. Planteamos el problema: Se nos da un conjunto de datos con horas de estudio $X$ y calificaciones $Y$ para 8 personas. Queremos encontrar la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ y luego estimar la calificación para 28 horas de estudio. 2. Fórmulas importantes para la recta de regresión $Y$ sobre $X$: $$\hat{Y} = a + bX$$ Donde: $$b = \frac{S_{XY}}{S_{XX}} = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2}$$ $$a = \bar{Y} - b\bar{X}$$ 3. Calculamos las medias: $$\bar{X} = \frac{20 + 16 + 34 + 23 + 27 + 32 + 18 + 22}{8} = \frac{192}{8} = 24$$ $$\bar{Y} = \frac{6.5 + 6 + 8.5 + 7 + 9 + 9.5 + 7.5 + 8}{8} = \frac{62}{8} = 7.75$$ 4. Calculamos $S_{XX}$ y $S_{XY}$: \begin{align*} S_{XX} &= \sum (X_i - \bar{X})^2 = (20-24)^2 + (16-24)^2 + (34-24)^2 + (23-24)^2 + (27-24)^2 + (32-24)^2 + (18-24)^2 + (22-24)^2 \\ &= 16 + 64 + 100 + 1 + 9 + 64 + 36 + 4 = 294 \end{align*} \begin{align*} S_{XY} &= \sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) \\ &= (20-24)(6.5-7.75) + (16-24)(6-7.75) + (34-24)(8.5-7.75) + (23-24)(7-7.75) \\ &\quad + (27-24)(9-7.75) + (32-24)(9.5-7.75) + (18-24)(7.5-7.75) + (22-24)(8-7.75) \\ &= (-4)(-1.25) + (-8)(-1.75) + (10)(0.75) + (-1)(-0.75) + (3)(1.25) + (8)(1.75) + (-6)(-0.25) + (-2)(0.25) \\ &= 5 + 14 + 7.5 + 0.75 + 3.75 + 14 + 1.5 - 0.5 = 45 \end{align*} 5. Calculamos la pendiente $b$ y la ordenada al origen $a$: $$b = \frac{S_{XY}}{S_{XX}} = \frac{45}{294} = \frac{15}{98} \approx 0.1531$$ $$a = \bar{Y} - b\bar{X} = 7.75 - 0.1531 \times 24 = 7.75 - 3.6744 = 4.0756$$ 6. Por lo tanto, la recta de regresión es: $$\hat{Y} = 4.0756 + 0.1531X$$ 7. Para estimar la calificación para 28 horas de estudio: $$\hat{Y} = 4.0756 + 0.1531 \times 28 = 4.0756 + 4.2868 = 8.3624$$ Respuesta final: - a) Recta de regresión: $$\hat{Y} = 4.0756 + 0.1531X$$ - b) Calificación estimada para 28 horas: $$8.36$$ (aproximadamente)