1. **Planteamiento del problema:** Se tienen dos conjuntos de datos para siete estudiantes: las notas del primer examen $x$ y las del segundo examen $y$. Queremos encontrar la recta de regresión de $x$ sobre $y$, es decir, la recta $L_1$ de la forma $$x = ay + b$$ 2. **Fórmulas y reglas importantes:** Para la regresión de $x$ sobre $y$, la pendiente $a$ se calcula como $$a = \frac{S_{xy}}{S_{yy}}$$ y la ordenada al origen $b$ como $$b = \bar{x} - a\bar{y}$$ donde $S_{xy}$ es la covarianza entre $x$ y $y$, $S_{yy}$ es la varianza de $y$, y $\bar{x}$ y $\bar{y}$ son las medias de $x$ y $y$ respectivamente. 3. **Cálculo de medias:** $$\bar{x} = \frac{15 + 23 + 25 + 30 + 34 + 34 + 40}{7} = \frac{201}{7} \approx 28.71$$ $$\bar{y} = \frac{20 + 26 + 27 + 32 + 35 + 37 + 35}{7} = \frac{212}{7} \approx 30.29$$ 4. **Cálculo de varianza de $y$ y covarianza $S_{xy}$:** Calculamos $S_{yy} = \sum (y_i - \bar{y})^2$ y $S_{xy} = \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$: | $y_i$ | $y_i - \bar{y}$ | $(y_i - \bar{y})^2$ | |-------|-----------------|---------------------| | 20 | 20 - 30.29 = -10.29 | 105.86 | | 26 | -4.29 | 18.41 | | 27 | -3.29 | 10.82 | | 32 | 1.71 | 2.92 | | 35 | 4.71 | 22.18 | | 37 | 6.71 | 45.02 | | 35 | 4.71 | 22.18 | Sumamos: $$S_{yy} = 105.86 + 18.41 + 10.82 + 2.92 + 22.18 + 45.02 + 22.18 = 227.39$$ | $x_i$ | $x_i - \bar{x}$ | $(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ | |-------|-----------------|----------------------------------| | 15 | 15 - 28.71 = -13.71 | (-13.71)(-10.29) = 141.00 | | 23 | -5.71 | (-5.71)(-4.29) = 24.50 | | 25 | -3.71 | (-3.71)(-3.29) = 12.21 | | 30 | 1.29 | (1.29)(1.71) = 2.21 | | 34 | 5.29 | (5.29)(4.71) = 24.91 | | 34 | 5.29 | (5.29)(6.71) = 35.50 | | 40 | 11.29 | (11.29)(4.71) = 53.17 | Sumamos: $$S_{xy} = 141.00 + 24.50 + 12.21 + 2.21 + 24.91 + 35.50 + 53.17 = 293.50$$ 5. **Cálculo de $a$ y $b$:** $$a = \frac{S_{xy}}{S_{yy}} = \frac{293.50}{227.39} \approx 1.29$$ $$b = \bar{x} - a\bar{y} = 28.71 - 1.29 \times 30.29 = 28.71 - 39.09 = -10.38$$ 6. **Respuesta parte (a):** La recta de regresión $L_1$ es $$x = 1.29y - 10.38$$ --- 7. **Parte (b):** La recta de regresión de $y$ sobre $x$ es $$y = cx + d$$ donde $$c = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \quad d = \bar{y} - c\bar{x}$$ Calculamos $S_{xx} = \sum (x_i - \bar{x})^2$: | $x_i$ | $x_i - \bar{x}$ | $(x_i - \bar{x})^2$ | |-------|-----------------|---------------------| | 15 | -13.71 | 188.00 | | 23 | -5.71 | 32.60 | | 25 | -3.71 | 13.77 | | 30 | 1.29 | 1.66 | | 34 | 5.29 | 27.98 | | 34 | 5.29 | 27.98 | | 40 | 11.29 | 127.44 | Sumamos: $$S_{xx} = 188.00 + 32.60 + 13.77 + 1.66 + 27.98 + 27.98 + 127.44 = 419.43$$ Calculamos $c$: $$c = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{293.50}{419.43} \approx 0.70$$ Calculamos $d$: $$d = \bar{y} - c\bar{x} = 30.29 - 0.70 \times 28.71 = 30.29 - 20.10 = 10.19$$ 8. **Punto de intersección $(p,q)$:** Las rectas $L_1$ y $L_2$ se intersectan en un punto que satisface ambas ecuaciones: $$x = 1.29y - 10.38$$ $$y = 0.70x + 10.19$$ Sustituimos $x$ en la segunda: $$y = 0.70(1.29y - 10.38) + 10.19 = 0.903y - 7.27 + 10.19 = 0.903y + 2.92$$ Restamos $0.903y$ de ambos lados: $$y - 0.903y = 2.92$$ $$\cancel{y} - 0.903\cancel{y} = 2.92$$ $$0.097y = 2.92$$ Despejamos $y$: $$y = \frac{2.92}{0.097} \approx 30.10$$ Calculamos $x$: $$x = 1.29 \times 30.10 - 10.38 = 38.79 - 10.38 = 28.41$$ Por lo tanto, el punto común es $$ (p, q) = (28.41, 30.10) $$ --- 9. **Parte (c):** Jennifer sacó 29 puntos en el segundo examen ($y=29$). Usamos la recta de regresión $L_1$ para estimar su nota en el primer examen: $$x = 1.29 \times 29 - 10.38 = 37.41 - 10.38 = 27.03$$ **Respuesta:** Jennifer habría sacado aproximadamente 27 puntos en el primer examen. --- **Resumen:** - (a) $a \approx 1.29$, $b \approx -10.38$ - (b) Punto común $(p, q) \approx (28.41, 30.10)$ - (c) Nota estimada primer examen para Jennifer: $27.03$