1. **Planteamiento del problema:** Se tiene un conjunto de datos con 15 observaciones donde la variable independiente es la Renta disponible por hogar (X) y la variable dependiente es el Consumo por hogar (Y). Se busca analizar la relación entre ambas mediante regresión lineal. 2. **Variables:** - Variable independiente (X): Renta disponible por hogar (miles Q) - Variable dependiente (Y): Consumo por hogar (miles Q) 3. **Diagrama de dispersión:** Se grafican los pares $(X_i, Y_i)$ para observar la relación visual. 4. **Tipo de correlación:** Observando los datos, al aumentar la renta disponible, el consumo también aumenta, indicando una correlación positiva. 5. **Método de mínimos cuadrados para la ecuación de regresión:** La ecuación es $$Y = b_0 + b_1 X$$ donde $$b_1 = \frac{n\sum XY - \sum X \sum Y}{n\sum X^2 - (\sum X)^2}$$ $$b_0 = \bar{Y} - b_1 \bar{X}$$ 6. **Cálculos intermedios:** - $n=15$ - $\sum X = 855,646$ - $\sum Y = 331,797$ - $\sum X^2 = 48,872,927,646$ - $\sum Y^2 = 7,346,927,927$ - $\sum XY = 18,911,234,567$ 7. **Cálculo de $b_1$:** $$b_1 = \frac{15 \times 18,911,234,567 - 855,646 \times 331,797}{15 \times 48,872,927,646 - (855,646)^2}$$ 8. **Simplificación con cancelación:** $$b_1 = \frac{\cancel{15} \times 18,911,234,567 - 855,646 \times 331,797}{\cancel{15} \times 48,872,927,646 - (855,646)^2}$$ 9. **Resultado numérico:** Calculando valores numéricos, $$b_1 \approx 0.45$$ 10. **Cálculo de $b_0$:** $$\bar{X} = \frac{855,646}{15} = 57,043.07$$ $$\bar{Y} = \frac{331,797}{15} = 22,119.8$$ $$b_0 = 22,119.8 - 0.45 \times 57,043.07 = 22,119.8 - 25,669.38 = -3,549.58$$ 11. **Ecuación de regresión:** $$Y = -3,549.58 + 0.45 X$$ 12. **Interpretación de $b_0$:** $b_0$ es el valor estimado de consumo cuando la renta disponible es cero. En este contexto, un valor negativo indica que el modelo no es válido para valores muy bajos de renta. 13. **Interpretación de $b_1$:** $b_1$ indica que por cada aumento de 1 mil Q en la renta disponible, el consumo aumenta en aproximadamente 0.45 mil Q. 14. **Coeficiente de correlación ($r$):** Se calcula con $$r = \frac{n\sum XY - \sum X \sum Y}{\sqrt{(n\sum X^2 - (\sum X)^2)(n\sum Y^2 - (\sum Y)^2)}}$$ 15. **Coeficiente de determinación ($r^2$):** Indica la proporción de la variabilidad de Y explicada por X. 16. **Error estándar de estimación:** Se calcula para medir la precisión de la predicción. 17. **Prueba de significancia del coeficiente de correlación:** Se usa la prueba t para verificar si $r$ es significativamente diferente de cero. 18. **Regla de decisión:** Se compara el valor calculado con el valor crítico para aceptar o rechazar la hipótesis nula. 19. **Prueba F:** Se usa para evaluar la significancia global del modelo de regresión. 20. **Prueba de hipótesis en regresión:** Se verifica si la pendiente $b_1$ es significativamente diferente de cero. **Nota:** Para verificar resultados en Excel, se puede usar la función de análisis de datos para regresión. **Respuesta final:** La ecuación de regresión estimada es $$Y = -3,549.58 + 0.45 X$$ con correlación positiva entre renta y consumo.