1. **Problema:** Distribuir 7 bolsas entre as áreas Engenharia (E), Matemática (M) e Ciência de Dados (C) usando o método de Hondt, com os projetos inscritos: E=28, M=19, C=33. 2. **Método de Hondt:** Dividimos o número de projetos de cada área por 1, 2, 3,... e atribuímos as bolsas aos maiores quocientes até distribuir todas as bolsas. 3. **Cálculo dos quocientes:** - Engenharia: $\frac{28}{1}=28$, $\frac{28}{2}=14$, $\frac{28}{3}\approx9.33$, $\frac{28}{4}=7$, ... - Matemática: $\frac{19}{1}=19$, $\frac{19}{2}=9.5$, $\frac{19}{3}\approx6.33$, ... - Ciência de Dados: $\frac{33}{1}=33$, $\frac{33}{2}=16.5$, $\frac{33}{3}=11$, $\frac{33}{4}=8.25$, ... 4. **Ordenando os maiores quocientes para 7 bolsas:** $33 (C), 28 (E), 19 (M), 16.5 (C), 14 (E), 11 (C), 9.5 (M)$ 5. **Distribuição das bolsas:** - Ciência de Dados: 3 bolsas (posições 1, 4, 6) - Engenharia: 2 bolsas (posições 2, 5) - Matemática: 2 bolsas (posições 3, 7) 6. **Resposta correta:** (A) 3 bolsas para Engenharia, 2 para Matemática e 2 para Ciência de Dados --- 1. **Problema:** Triângulo equilátero $ABC$ com circunferência de raio $r=6$ centrada em $B$. Ponto $D$ na interseção da circunferência com $[CB]$, $F$ é baricentro de $ABC$, e $C, D, F$ formam triângulo retângulo em $D$. Determinar a área da parte colorida (triângulo $ABC$ menos triângulo $CDF$). 2. **Dados e propriedades:** - Triângulo $ABC$ equilátero: todos os lados iguais, $AB=BC=AC=s$. - Baricentro $F$ divide medianas em razão 2:1. - $D$ está em $[CB]$ e $BD=r=6$. 3. **Determinar lado $s$:** Como $D$ está em $[CB]$ e $BD=6$, e $BC=s$, então $CD = s - 6$. 4. **Coordenadas para facilitar:** - Coloque $B$ na origem $(0,0)$. - Como $ABC$ é equilátero, $C$ em $(s,0)$. - $A$ em $\left(\frac{s}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}s\right)$. 5. **Coordenadas dos pontos:** - $B=(0,0)$ - $C=(s,0)$ - $D=(6,0)$ (pois $BD=6$) - Baricentro $F=\left(\frac{0+s+\frac{s}{2}}{3}, \frac{0+0+\frac{\sqrt{3}}{2}s}{3}\right)=\left(\frac{3s/2}{3}, \frac{\sqrt{3}s/2}{3}\right)=\left(\frac{s}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}s\right)$ 6. **Verificar que $C, D, F$ formam triângulo retângulo em $D$:** Vetores: - $\overrightarrow{DC} = (s-6, 0)$ - $\overrightarrow{DF} = \left(\frac{s}{2} - 6, \frac{\sqrt{3}}{6}s\right)$ Produto escalar: $$\overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{DF} = (s-6)\left(\frac{s}{2} - 6\right) + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{6}s = 0$$ 7. **Resolver a equação:** $$ (s-6)\left(\frac{s}{2} - 6\right) = 0 $$ Expande: $$ \frac{s^2}{2} - 6s - 3s + 36 = 0 $$ $$ \frac{s^2}{2} - 9s + 36 = 0 $$ Multiplica por 2: $$ s^2 - 18s + 72 = 0 $$ 8. **Resolver a equação quadrática:** $$ s = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 - 4 \cdot 72}}{2} = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 288}}{2} = \frac{18 \pm \sqrt{36}}{2} $$ $$ s = \frac{18 \pm 6}{2} $$ Soluções: - $ s = \frac{18 + 6}{2} = 12 $ - $ s = \frac{18 - 6}{2} = 6 $ Como $BD=6$ e $D$ está entre $B$ e $C$, $s$ deve ser maior que 6, então $s=12$. 9. **Calcular área do triângulo $ABC$:** $$ \text{Área}_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144 = 36\sqrt{3} $$ 10. **Calcular área do triângulo $CDF$:** Coordenadas: - $C = (12,0)$ - $D = (6,0)$ - $F = \left(6, 2\sqrt{3}\right)$ pois $\frac{\sqrt{3}}{6} \times 12 = 2\sqrt{3}$ Base $CD = 12 - 6 = 6$ Altura é a distância vertical de $F$ a $CD$ (eixo x), que é $2\sqrt{3}$. Área: $$ \text{Área}_{CDF} = \frac{1}{2} \times 6 \times 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} $$ 11. **Área da parte colorida:** $$ \text{Área}_{colorida} = \text{Área}_{ABC} - \text{Área}_{CDF} = 36\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 30\sqrt{3} $$ **Resposta final:** A área exata da parte colorida é $$30\sqrt{3}$$.