Estatistica Multivariada Bc29Ed

1. **Problema:** Dado o conjunto de dados para as variáveis $X_1$, $X_2$ e $X_3$, determine o vetor de médias, a matriz de covariâncias e a matriz de correlações. 2. **Fórmulas e regras importantes:** - O vetor de médias $\mu$ é calculado pela média de cada variável. - A matriz de covariâncias $\Sigma$ é dada por $$\Sigma = \frac{1}{n-1} (X - \bar{X})(X - \bar{X})^T$$ onde $X$ é a matriz de dados e $\bar{X}$ o vetor de médias. - A matriz de correlações $R$ é obtida normalizando $\Sigma$ pelas variâncias: $$R_{ij} = \frac{\Sigma_{ij}}{\sqrt{\Sigma_{ii} \Sigma_{jj}}}$$ 3. **Cálculo do vetor de médias:** $$\mu = \left[ \frac{1+3+5+3+3}{5}, \frac{2+0-2+0+0}{5}, \frac{1+2+3+2+2}{5} \right] = [3, 0, 2]$$ 4. **Matriz de dados $X$ e matriz centrada $X - \bar{X}$:** $$X = \begin{bmatrix}1 & 3 & 5 & 3 & 3 \\ 2 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 2 & 2 \end{bmatrix}$$ $$X - \bar{X} = \begin{bmatrix}1-3 & 3-3 & 5-3 & 3-3 & 3-3 \\ 2-0 & 0-0 & -2-0 & 0-0 & 0-0 \\ 1-2 & 2-2 & 3-2 & 2-2 & 2-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ 5. **Matriz de covariâncias:** $$\Sigma = \frac{1}{5-1} (X - \bar{X})(X - \bar{X})^T = \frac{1}{4} \begin{bmatrix}-2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ Calculando o produto: $$= \frac{1}{4} \begin{bmatrix}(-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 0 + 0 & (-2)(2) + 0(0) + 2(-2) + 0 + 0 & (-2)(-1) + 0(0) + 2(1) + 0 + 0 \\ 2(-2) + 0(0) + (-2)(2) + 0 + 0 & 2^2 + 0^2 + (-2)^2 + 0 + 0 & 2(-1) + 0(0) + (-2)(1) + 0 + 0 \\ (-1)(-2) + 0(0) + 1(2) + 0 + 0 & (-1)(2) + 0(0) + 1(-2) + 0 + 0 & (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 0 + 0 \end{bmatrix}$$ $$= \frac{1}{4} \begin{bmatrix}4 + 0 + 4 & -4 + 0 -4 & 2 + 0 + 2 \\ -4 + 0 -4 & 4 + 0 + 4 & -2 + 0 -2 \\ 2 + 0 + 2 & -2 + 0 -2 & 1 + 0 + 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix}8 & -8 & 4 \\ -8 & 8 & -4 \\ 4 & -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0.5 \end{bmatrix}$$ 6. **Matriz de correlações:** Calculamos as variâncias (elementos diagonais): $\sigma_{11} = 2$, $\sigma_{22} = 2$, $\sigma_{33} = 0.5$. Normalizando os elementos: $$R = \begin{bmatrix}1 & \frac{-2}{\sqrt{2 \times 2}} & \frac{1}{\sqrt{2 \times 0.5}} \\ \frac{-2}{\sqrt{2 \times 2}} & 1 & \frac{-1}{\sqrt{2 \times 0.5}} \\ \frac{1}{\sqrt{2 \times 0.5}} & \frac{-1}{\sqrt{2 \times 0.5}} & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$$ **Resposta 1(a):** - Vetor de médias: $\mu = [3, 0, 2]$ - Matriz de covariâncias: $$\begin{bmatrix}2 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0.5 \end{bmatrix}$$ - Matriz de correlações: $$\begin{bmatrix}1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$$ --- 7. **Problema 1(b):** Dada a transformação linear $Y = AX + c$ com $$A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad c = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$$ Determine $E(Y)$ e $Var(Y)$. 8. **Fórmulas:** - $E(Y) = A E(X) + c$ - $Var(Y) = A Var(X) A^T$ 9. **Cálculo de $E(Y)$:** $$E(Y) = A \mu + c = \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}3 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \times 3 + 0 + 1 \times 2 \\ 1 \times 3 + 1 \times 0 + 0 \\ 0 + 1 \times 0 + 1 \times 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$$ 10. **Cálculo de $Var(Y)$:** $$Var(Y) = A \Sigma A^T = \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}2 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ Primeiro calculamos $A \Sigma$: $$= \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}2 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \times 2 + 0 + 1 \times 1 & 1 \times (-2) + 0 + 1 \times (-1) & 1 \times 1 + 0 + 1 \times 0.5 \\ 1 \times 2 + 1 \times (-2) + 0 & 1 \times (-2) + 1 \times 2 + 0 & 1 \times 1 + 1 \times (-1) + 0 \\ 0 + 1 \times (-2) + 1 \times 1 & 0 + 1 \times 2 + 1 \times (-1) & 0 + 1 \times (-1) + 1 \times 0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 & -3 & 1.5 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -0.5 \end{bmatrix}$$ Agora multiplicamos pelo $A^T$: $$Var(Y) = \begin{bmatrix}3 & -3 & 1.5 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 \times 1 + (-3) \times 0 + 1.5 \times 1 & 3 \times 1 + (-3) \times 1 + 1.5 \times 0 & 3 \times 0 + (-3) \times 1 + 1.5 \times 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 \times 1 + 1 \times 0 + (-0.5) \times 1 & -1 \times 1 + 1 \times 1 + (-0.5) \times 0 & -1 \times 0 + 1 \times 1 + (-0.5) \times 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4.5 & 0 & -1.5 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1.5 & 0 & 0.5 \end{bmatrix}$$ **Resposta 1(b):** - $E(Y) = \begin{bmatrix}5 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$ - $Var(Y) = \begin{bmatrix}4.5 & 0 & -1.5 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1.5 & 0 & 0.5 \end{bmatrix}$ --- **Resumo:** - Questão 1(a) resolvida com vetor de médias, matriz de covariâncias e correlações. - Questão 1(b) resolvida com cálculo de $E(Y)$ e $Var(Y)$ para transformação linear.