1. **Enunciado do problema:** Dado o conjunto de pontos $(x,y)$: $$\begin{array}{c|cccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ y & 8,03 & 3,01 & 1,10 & 0,40 & 0,15 & 0,05 \\\end{array}$$ A tarefa é ajustar uma função exponencial do tipo $$y = a \cdot b^x$$ que melhor se ajuste aos dados e determinar o valor de $y$ para $x=2,5$. 2. **Fórmula e regras importantes:** Para ajuste exponencial, tomamos o logaritmo natural dos valores de $y$ para linearizar a função: $$\ln y = \ln a + x \ln b$$ Assim, podemos usar regressão linear para encontrar $\ln a$ e $\ln b$. 3. **Transformação dos dados:** Calculamos $\ln y$ para cada $y$: $$\begin{array}{c|cccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ y & 8,03 & 3,01 & 1,10 & 0,40 & 0,15 & 0,05 \\\ln y & \ln 8,03 & \ln 3,01 & \ln 1,10 & \ln 0,40 & \ln 0,15 & \ln 0,05 \\\end{array}$$ Calculando: $$\ln 8,03 \approx 2,083$$ $$\ln 3,01 \approx 1,102$$ $$\ln 1,10 \approx 0,095$$ $$\ln 0,40 \approx -0,916$$ $$\ln 0,15 \approx -1,897$$ $$\ln 0,05 \approx -2,996$$ 4. **Cálculo dos coeficientes da regressão linear:** Seja $Y = \ln y$, $X = x$. Calculamos as médias: $$\bar{X} = \frac{0+1+2+3+4+5}{6} = \frac{15}{6} = 2,5$$ $$\bar{Y} = \frac{2,083 + 1,102 + 0,095 - 0,916 - 1,897 - 2,996}{6} = \frac{-2,529}{6} \approx -0,4215$$ Calculamos o coeficiente angular $m$: $$m = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2}$$ Calculando os termos: $$\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = (0-2,5)(2,083+0,4215) + (1-2,5)(1,102+0,4215) + (2-2,5)(0,095+0,4215) + (3-2,5)(-0,916+0,4215) + (4-2,5)(-1,897+0,4215) + (5-2,5)(-2,996+0,4215)$$ $$= (-2,5)(2,5045) + (-1,5)(1,5235) + (-0,5)(0,5165) + (0,5)(-0,4945) + (1,5)(-1,4755) + (2,5)(-2,5745)$$ $$= -6,26125 - 2,28525 - 0,25825 - 0,24725 - 2,21325 - 6,43625 = -17,7015$$ $$\sum (X_i - \bar{X})^2 = (0-2,5)^2 + (1-2,5)^2 + (2-2,5)^2 + (3-2,5)^2 + (4-2,5)^2 + (5-2,5)^2$$ $$= 6,25 + 2,25 + 0,25 + 0,25 + 2,25 + 6,25 = 17,5$$ Logo: $$m = \frac{-17,7015}{17,5} \approx -1,0118$$ 5. **Cálculo do coeficiente linear $c$:** $$c = \bar{Y} - m \bar{X} = -0,4215 - (-1,0118)(2,5) = -0,4215 + 2,5295 = 2,108$$ 6. **Encontrando $a$ e $b$:** $$\ln a = c = 2,108 \Rightarrow a = e^{2,108} \approx 8,23$$ $$\ln b = m = -1,0118 \Rightarrow b = e^{-1,0118} \approx 0,363$$ 7. **Função ajustada:** $$y = 8,23 \cdot 0,363^x$$ 8. **Calculando $y$ para $x=2,5$:** $$y = 8,23 \cdot 0,363^{2,5} = 8,23 \cdot e^{2,5 \ln 0,363}$$ Calculando o expoente: $$2,5 \ln 0,363 = 2,5 \times (-1,0118) = -2,5295$$ Logo: $$y = 8,23 \cdot e^{-2,5295} = 8,23 \cdot 0,0797 \approx 0,656$$ **Resposta final:** O valor estimado para $x=2,5$ é aproximadamente **0,656**. **Alternativa correta:** D) 0,656