1. **Enunciado do problema:** Analisar o consumo mensal de energia elétrica em residências a partir de dados reais, organizando-os em uma tabela de frequência agrupada, e calcular medidas de posição (média e mediana) e dispersão (variância e desvio padrão). 2. **Coleta e organização dos dados:** Suponha que coletamos 30 dados reais de consumo mensal em kWh: $$\{120, 135, 150, 160, 170, 175, 180, 185, 190, 195, 200, 210, 215, 220, 225, 230, 235, 240, 245, 250, 255, 260, 265, 270, 275, 280, 285, 290, 295, 300\}$$ 3. **Construção da tabela de frequência agrupada:** - Número de classes: 5 - Amplitude total: $300 - 120 = 180$ - Amplitude da classe: $\frac{180}{5} = 36$ Classes e frequências: | Classe (kWh) | Frequência | |--------------|------------| | 120 - 155 | 3 | | 156 - 191 | 5 | | 192 - 227 | 6 | | 228 - 263 | 8 | | 264 - 300 | 8 | 4. **Cálculo da média:** - Usamos o ponto médio de cada classe: $$\text{Pontos médios} = \{137.5, 173.5, 209.5, 245.5, 282\}$$ - Multiplicamos cada ponto médio pela frequência e somamos: $$\sum f_i x_i = 3 \times 137.5 + 5 \times 173.5 + 6 \times 209.5 + 8 \times 245.5 + 8 \times 282 = 412.5 + 867.5 + 1257 + 1964 + 2256 = 6757$$ - Total de dados $n=30$ - Média: $$\bar{x} = \frac{6757}{30} \approx 225.23$$ 5. **Cálculo da mediana:** - A mediana está na posição $\frac{n+1}{2} = \frac{31}{2} = 15.5$-ésimo dado - Soma das frequências acumuladas: - Classe 1: 3 - Classe 2: 8 - Classe 3: 14 - Classe 4: 22 - A mediana está na classe 4 (228 - 263) - Fórmula da mediana para dados agrupados: $$\text{Mediana} = L + \left( \frac{\frac{n}{2} - F}{f_m} \right) \times h$$ onde: - $L=227$ (limite inferior da classe 4) - $n=30$ - $F=14$ (frequência acumulada antes da classe 4) - $f_m=8$ (frequência da classe 4) - $h=36$ (amplitude da classe) Calculando: $$\text{Mediana} = 227 + \left( \frac{15 - 14}{8} \right) \times 36 = 227 + \frac{1}{8} \times 36 = 227 + 4.5 = 231.5$$ 6. **Cálculo da variância e desvio padrão:** - Variância amostral para dados agrupados: $$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum f_i (x_i - \bar{x})^2$$ - Calculamos cada termo: - Para $x_1=137.5$: $(137.5 - 225.23)^2 = 7663.05$, $f_1 (x_1 - \bar{x})^2 = 3 \times 7663.05 = 22989.15$ - Para $x_2=173.5$: $(173.5 - 225.23)^2 = 2673.86$, $5 \times 2673.86 = 13369.3$ - Para $x_3=209.5$: $(209.5 - 225.23)^2 = 246.5$, $6 \times 246.5 = 1479$ - Para $x_4=245.5$: $(245.5 - 225.23)^2 = 410.9$, $8 \times 410.9 = 3287.2$ - Para $x_5=282$: $(282 - 225.23)^2 = 3203.5$, $8 \times 3203.5 = 25628$ - Soma: $$22989.15 + 13369.3 + 1479 + 3287.2 + 25628 = 66752.65$$ - Variância: $$s^2 = \frac{66752.65}{29} \approx 2301.81$$ - Desvio padrão: $$s = \sqrt{2301.81} \approx 47.97$$ 7. **Interpretação:** - A média de consumo é aproximadamente 225.23 kWh, indicando o consumo típico. - A mediana 231.5 kWh confirma que metade das residências consome menos e metade mais que esse valor. - O desvio padrão alto (47.97) mostra variação significativa no consumo entre residências. - Estratégias para reduzir consumo podem incluir conscientização, uso de equipamentos eficientes e monitoramento individualizado.