1. **Problema:** Calcular o coeficiente de correlação entre Idade e Preço, classificar a correlação, determinar a reta de regressão linear e analisar afirmações dadas. 2. **Dados:** Idade $x$: 3, 9, 4, 5, 10, 7, 5, 3, 6, 8 Preço $y$: 22, 6, 17, 15, 4, 6, 14, 25, 11, 7 3. **Fórmulas importantes:** - Média: $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum x_i$, $\bar{y} = \frac{1}{n} \sum y_i$ - Variância: $s_x^2 = \frac{1}{n-1} \sum (x_i - \bar{x})^2$ - Covariância: $s_{xy} = \frac{1}{n-1} \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ - Coeficiente de correlação: $r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y}$ - Reta de regressão: $\hat{y} = b x + a$ com $b = \frac{s_{xy}}{s_x^2}$ e $a = \bar{y} - b \bar{x}$ 4. **Cálculos intermediários:** - $\bar{x} = \frac{3+9+4+5+10+7+5+3+6+8}{10} = \frac{60}{10} = 6.0$ - $\bar{y} = \frac{22+6+17+15+4+6+14+25+11+7}{10} = \frac{127}{10} = 12.7$ - Calcular $s_x^2$: $$\sum (x_i - \bar{x})^2 = (3-6)^2 + (9-6)^2 + (4-6)^2 + (5-6)^2 + (10-6)^2 + (7-6)^2 + (5-6)^2 + (3-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2$$ $$= 9 + 9 + 4 + 1 + 16 + 1 + 1 + 9 + 0 + 4 = 54$$ $$s_x^2 = \frac{54}{9} = 6.0$$ - Calcular $s_y^2$: $$\sum (y_i - \bar{y})^2 = (22-12.7)^2 + (6-12.7)^2 + (17-12.7)^2 + (15-12.7)^2 + (4-12.7)^2 + (6-12.7)^2 + (14-12.7)^2 + (25-12.7)^2 + (11-12.7)^2 + (7-12.7)^2$$ $$= 86.49 + 44.89 + 18.49 + 5.29 + 75.69 + 44.89 + 1.69 + 153.29 + 2.89 + 32.49 = 466.1$$ $$s_y^2 = \frac{466.1}{9} = 51.789$$ - Calcular $s_x = \sqrt{6.0} = 2.449$ e $s_y = \sqrt{51.789} = 7.197$ - Calcular $s_{xy}$: $$\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (3-6)(22-12.7) + (9-6)(6-12.7) + (4-6)(17-12.7) + (5-6)(15-12.7) + (10-6)(4-12.7) + (7-6)(6-12.7) + (5-6)(14-12.7) + (3-6)(25-12.7) + (6-6)(11-12.7) + (8-6)(7-12.7)$$ $$= (-3)(9.3) + 3(-6.7) + (-2)(4.3) + (-1)(2.3) + 4(-8.7) + 1(-6.7) + (-1)(1.3) + (-3)(12.3) + 0(-1.7) + 2(-5.7)$$ $$= -27.9 - 20.1 - 8.6 - 2.3 - 34.8 - 6.7 - 1.3 - 36.9 + 0 - 11.4 = -150.0$$ $$s_{xy} = \frac{-150.0}{9} = -16.667$$ 5. **Coeficiente de correlação:** $$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{-16.667}{2.449 \times 7.197} = \frac{-16.667}{17.63} = -0.945$$ 6. **Classificação da correlação:** - Sinal: Negativo (pois $r < 0$) - Magnitude: $|r| = 0.945$ indica correlação muito forte (próximo de 1) 7. **Coeficientes da reta de regressão:** $$b = \frac{s_{xy}}{s_x^2} = \frac{-16.667}{6.0} = -2.778$$ $$a = \bar{y} - b \bar{x} = 12.7 - (-2.778)(6.0) = 12.7 + 16.668 = 29.368$$ Logo, a reta é: $$\hat{y} = -2.778 x + 29.368$$ 8. **Análise das afirmações:** - "Quando uma variável aumenta, a outra tende a aumentar." Falso (correlação negativa) - "Quando a idade aumenta 1 unidade, o preço aumenta em média cerca de 2.78 milhares de euros." Falso (preço diminui em 2.778) - "Quando uma variável aumenta, a outra tende a diminuir." Verdadeiro (correlação negativa forte) - "O modelo prevê que em média, um carro com 3 anos tenha um preço a rondar os 25 mil euros." $$\hat{y} = -2.778 \times 3 + 29.368 = -8.334 + 29.368 = 21.034$$ Não exatamente 25, mas próximo, então parcialmente verdadeiro - "A taxa de explicação é de cerca de 90%." Taxa de explicação $= r^2 = (-0.945)^2 = 0.893 = 89.3\%$, próximo de 90%, verdadeiro **Resposta final:** - Coeficiente de correlação: $r = -0.945$ - Correlação negativa muito forte - Reta de regressão: $\hat{y} = -2.778 x + 29.368$ - Afirmações verdadeiras: 3ª, 4ª (aproximadamente), 5ª