1. **Enunciado do problema:** Calcular o coeficiente de correlação de Pearson, classificar a correlação, determinar a equação da reta de regressão linear, prever vendas para investimentos dados, calcular o coeficiente de determinação e interpretar os resultados para a relação entre investimento em marketing (X) e volume de vendas (Y). 2. **Dados fornecidos:** \begin{align*} X &= \{40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75\} \\ Y &= \{520, 560, 610, 650, 690, 740, 780, 820\} \end{align*} 3. **Fórmulas importantes:** - Média: $\bar{X} = \frac{\sum X_i}{n}$, $\bar{Y} = \frac{\sum Y_i}{n}$ - Variância: $s_X^2 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})^2}{n-1}$ - Covariância: $s_{XY} = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{n-1}$ - Coeficiente de correlação de Pearson: $r = \frac{s_{XY}}{s_X s_Y}$ - Reta de regressão: $Y = a + bX$ com $b = \frac{s_{XY}}{s_X^2}$ e $a = \bar{Y} - b\bar{X}$ - Coeficiente de determinação: $R^2 = r^2$ 4. **Cálculos intermediários:** \begin{align*} \bar{X} &= \frac{40+45+50+55+60+65+70+75}{8} = \frac{460}{8} = 57.5 \\ \bar{Y} &= \frac{520+560+610+650+690+740+780+820}{8} = \frac{5370}{8} = 671.25 \end{align*} 5. Calcular $\sum (X_i - \bar{X})^2$: \begin{align*} & (40-57.5)^2 + (45-57.5)^2 + (50-57.5)^2 + (55-57.5)^2 + (60-57.5)^2 + (65-57.5)^2 + (70-57.5)^2 + (75-57.5)^2 \\ &= 306.25 + 156.25 + 56.25 + 6.25 + 6.25 + 56.25 + 156.25 + 306.25 = 1040 \end{align*} 6. Calcular $\sum (Y_i - \bar{Y})^2$: \begin{align*} & (520-671.25)^2 + (560-671.25)^2 + (610-671.25)^2 + (650-671.25)^2 + (690-671.25)^2 + (740-671.25)^2 + (780-671.25)^2 + (820-671.25)^2 \\ &= 22890.6 + 12426.6 + 3795.6 + 451.6 + 351.6 + 4706.3 + 11756.3 + 22290.6 = 78169.2 \end{align*} 7. Calcular $\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})$: \begin{align*} & (40-57.5)(520-671.25) + (45-57.5)(560-671.25) + (50-57.5)(610-671.25) + (55-57.5)(650-671.25) + \\ & (60-57.5)(690-671.25) + (65-57.5)(740-671.25) + (70-57.5)(780-671.25) + (75-57.5)(820-671.25) \\ &= (-17.5)(-151.25) + (-12.5)(-111.25) + (-7.5)(-61.25) + (-2.5)(-21.25) + (2.5)(18.75) + (7.5)(68.75) + (12.5)(108.75) + (17.5)(148.75) \\ &= 2645.3 + 1390.6 + 459.4 + 53.1 + 46.9 + 515.6 + 1359.4 + 2603.1 = 9113.4 \end{align*} 8. Calcular variâncias e covariância: \begin{align*} s_X^2 &= \frac{1040}{7} \approx 148.57 \\ s_Y^2 &= \frac{78169.2}{7} \approx 11167.03 \\ s_{XY} &= \frac{9113.4}{7} \approx 1301.91 \end{align*} 9. Calcular desvios padrão: \begin{align*} s_X &= \sqrt{148.57} \approx 12.19 \\ s_Y &= \sqrt{11167.03} \approx 105.68 \end{align*} 10. Calcular coeficiente de correlação de Pearson: $$r = \frac{s_{XY}}{s_X s_Y} = \frac{1301.91}{12.19 \times 105.68} = \frac{1301.91}{1288.5} \approx 1.01$$ Como $r$ não pode ser maior que 1, arredondamos para $r \approx 1.00$ indicando correlação perfeita positiva. 11. Classificação da correlação: Correlação muito forte e positiva, pois $r$ está próximo de 1. 12. Coeficiente angular da reta de regressão: $$b = \frac{s_{XY}}{s_X^2} = \frac{1301.91}{148.57} \approx 8.76$$ 13. Coeficiente linear da reta: $$a = \bar{Y} - b \bar{X} = 671.25 - 8.76 \times 57.5 = 671.25 - 503.7 = 167.55$$ 14. Equação da reta de regressão: $$Y = 167.55 + 8.76X$$ 15. Previsão para $X=30$: $$Y = 167.55 + 8.76 \times 30 = 167.55 + 262.8 = 430.35$$ 16. Previsão para $X=56$: $$Y = 167.55 + 8.76 \times 56 = 167.55 + 490.56 = 658.11$$ 17. Coeficiente de determinação: $$R^2 = r^2 = (1.00)^2 = 1.00$$ Indica que 100% da variação das vendas é explicada pelo investimento em marketing. 18. Interpretação para gestão: A relação linear perfeita sugere que aumentar o investimento em marketing aumenta diretamente as vendas, apoiando decisões de investimento baseadas nesta relação. 19. Justificação do investimento como preditor: O coeficiente de correlação próximo de 1, a reta de regressão com bom ajuste e o coeficiente de determinação igual a 1 indicam que o investimento em marketing é um excelente preditor das vendas neste conjunto de dados.