1. **Enunciado do problema:** Temos uma pesquisa sobre o tempo semanal (em horas) que estudantes universitários dedicam ao estudo independente, com os dados agrupados em intervalos de classes e suas respectivas frequências. 2. **Construção da tabela de frequências:** Dado: - Intervalos: [0,5[, [5,10[, [10,15[, [15,20[, [20,25[ - Frequências (número de estudantes): 8, 15, 20, 12, 10 Tabela de frequências: | Intervalo | Frequência (f) | |-----------|----------------| | [0,5[ | 8 | | [5,10[ | 15 | | [10,15[ | 20 | | [15,20[ | 12 | | [20,25[ | 10 | 3. **Cálculo da média:** A média para dados agrupados é dada por: $$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$$ onde $x_i$ é o ponto médio de cada intervalo. Calculando os pontos médios: - $x_1 = \frac{0+5}{2} = 2.5$ - $x_2 = \frac{5+10}{2} = 7.5$ - $x_3 = \frac{10+15}{2} = 12.5$ - $x_4 = \frac{15+20}{2} = 17.5$ - $x_5 = \frac{20+25}{2} = 22.5$ Calculando $\sum f_i x_i$: $$8 \times 2.5 + 15 \times 7.5 + 20 \times 12.5 + 12 \times 17.5 + 10 \times 22.5 = 20 + 112.5 + 250 + 210 + 225 = 817.5$$ Calculando $\sum f_i$: $$8 + 15 + 20 + 12 + 10 = 65$$ Logo, $$\bar{x} = \frac{817.5}{65} = 12.5769$$ 4. **Cálculo da moda:** Moda é o valor correspondente à classe com maior frequência. A maior frequência é 20, correspondente ao intervalo [10,15[. 5. **Cálculo da mediana:** A mediana é o valor que divide a amostra em duas partes iguais. Total de dados $N=65$, metade é $32.5$. Frequências acumuladas: - [0,5[: 8 - [5,10[: 8 + 15 = 23 - [10,15[: 23 + 20 = 43 - [15,20[: 43 + 12 = 55 - [20,25[: 55 + 10 = 65 A classe mediana é [10,15[ pois a frequência acumulada ultrapassa 32.5 nesta classe. Fórmula da mediana para dados agrupados: $$M_e = L + \left(\frac{\frac{N}{2} - F}{f_m}\right) \times h$$ onde: - $L$ = limite inferior da classe mediana = 10 - $N$ = total de observações = 65 - $F$ = frequência acumulada antes da classe mediana = 23 - $f_m$ = frequência da classe mediana = 20 - $h$ = amplitude da classe = 5 Calculando: $$M_e = 10 + \left(\frac{32.5 - 23}{20}\right) \times 5 = 10 + \left(\frac{9.5}{20}\right) \times 5 = 10 + 2.375 = 12.375$$ 6. **Cálculo do desvio padrão:** Fórmula do desvio padrão para dados agrupados: $$s = \sqrt{\frac{\sum f_i x_i^2 - \frac{(\sum f_i x_i)^2}{N}}{N-1}}$$ Calculando $\sum f_i x_i^2$: - $8 \times 2.5^2 = 8 \times 6.25 = 50$ - $15 \times 7.5^2 = 15 \times 56.25 = 843.75$ - $20 \times 12.5^2 = 20 \times 156.25 = 3125$ - $12 \times 17.5^2 = 12 \times 306.25 = 3675$ - $10 \times 22.5^2 = 10 \times 506.25 = 5062.5$ Somando: $$50 + 843.75 + 3125 + 3675 + 5062.5 = 12756.25$$ Calculando o desvio padrão: $$s = \sqrt{\frac{12756.25 - \frac{817.5^2}{65}}{64}} = \sqrt{\frac{12756.25 - \frac{668306.25}{65}}{64}} = \sqrt{\frac{12756.25 - 10289.33}{64}} = \sqrt{\frac{2466.92}{64}} = \sqrt{38.55} = 6.21$$ **Resposta final:** - Média: $12.58$ horas - Moda: intervalo $[10,15[$ horas - Mediana: $12.38$ horas - Desvio padrão: $6.21$ horas