1. **Problemstellung:** Ein Glas Marmelade wird aus dem Kühlschrank (8 °C) genommen und auf einen Gartentisch mit 30 °C Außentemperatur gestellt. Nach 12 Minuten ist die Marmelade 15 °C warm. 2. **Gesucht:** Eine Funktion $f(t)$, die die Temperatur der Marmelade nach $t$ Minuten beschreibt, basierend auf begrenztem Wachstum (exponentielle Annäherung an die Außentemperatur). Außerdem sollen Zeitpunkte und Temperaturen für bestimmte Werte berechnet werden. 3. **Formel für begrenztes Wachstum:** $$f(t) = S - (S - f_0) \cdot e^{-kt}$$ Dabei ist: - $S$ die Schranke (hier Außentemperatur 30 °C), - $f_0$ die Anfangstemperatur (8 °C), - $k$ die Wachstumsrate, - $t$ die Zeit in Minuten. 4. **Bestimmung von $k$:** Gegeben: $f(12) = 15$ Setze in die Formel ein: $$15 = 30 - (30 - 8) \cdot e^{-12k}$$ $$15 = 30 - 22 \cdot e^{-12k}$$ $$22 \cdot e^{-12k} = 30 - 15 = 15$$ $$e^{-12k} = \frac{15}{22}$$ 5. **Löse nach $k$ auf:** $$-12k = \ln\left(\frac{15}{22}\right)$$ $$k = -\frac{1}{12} \ln\left(\frac{15}{22}\right)$$ 6. **Funktion $f(t)$:** $$f(t) = 30 - 22 \cdot e^{-kt}$$ mit $k$ wie oben berechnet. 7. **Berechnung der Zeit für $f(t) = 20$:** Setze $f(t) = 20$: $$20 = 30 - 22 \cdot e^{-kt}$$ $$22 \cdot e^{-kt} = 10$$ $$e^{-kt} = \frac{10}{22}$$ $$-kt = \ln\left(\frac{10}{22}\right)$$ $$t = -\frac{1}{k} \ln\left(\frac{10}{22}\right)$$ 8. **Temperatur nach 5 Minuten:** Setze $t=5$ in $f(t)$ ein: $$f(5) = 30 - 22 \cdot e^{-5k}$$ 9. **Zeitpunkt, bei dem sich die Temperatur um 0,5 °C pro Minute ändert:** Die Änderungsrate ist die Ableitung: $$f'(t) = 22k \cdot e^{-kt}$$ Setze $f'(t) = 0{,}5$: $$0{,}5 = 22k \cdot e^{-kt}$$ $$e^{-kt} = \frac{0{,}5}{22k}$$ $$-kt = \ln\left(\frac{0{,}5}{22k}\right)$$ $$t = -\frac{1}{k} \ln\left(\frac{0{,}5}{22k}\right)$$ **Zusammenfassung:** - Die Funktion $f(t) = 30 - 22 \cdot e^{-kt}$ beschreibt die Temperatur. - $k = -\frac{1}{12} \ln\left(\frac{15}{22}\right)$ - Zeit für 20 °C: $t = -\frac{1}{k} \ln\left(\frac{10}{22}\right)$ - Temperatur nach 5 Minuten: $f(5) = 30 - 22 \cdot e^{-5k}$ - Zeitpunkt für 0,5 °C/min: $t = -\frac{1}{k} \ln\left(\frac{0{,}5}{22k}\right)$