1. Énoncé du problème : La concentration d'un médicament dans le sang suit un modèle exponentiel. Initialement, la concentration est de 15 µg/ml. 2. Données : - Concentration initiale $C_0 = 15$ µg/ml - Après 5 heures, la concentration est divisée par 2, donc $C(5) = \frac{15}{2} = 7{,}5$ µg/ml - On cherche le temps $t$ pour que $C(t) \geq 3{,}75$ µg/ml 3. Modèle exponentiel : La concentration suit la loi $$ C(t) = C_0 e^{-kt} $$ avec $k > 0$ la constante de décroissance. 4. Trouvons $k$ en utilisant $C(5) = 7{,}5$ : $$ 7{,}5 = 15 e^{-5k} $$ Divisons par 15 : $$ \frac{7{,}5}{15} = e^{-5k} $$ $$ \frac{1}{2} = e^{-5k} $$ Prenons le logarithme népérien : $$ \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -5k $$ $$ -\ln(2) = -5k $$ $$ k = \frac{\ln(2)}{5} $$ 5. Trouvons le temps $t$ tel que $C(t) = 3{,}75$ : $$ 3{,}75 = 15 e^{-kt} $$ Divisons par 15 : $$ \frac{3{,}75}{15} = e^{-kt} $$ $$ \frac{1}{4} = e^{-kt} $$ Prenons le logarithme : $$ \ln\left(\frac{1}{4}\right) = -kt $$ $$ -\ln(4) = -kt $$ $$ t = \frac{\ln(4)}{k} $$ 6. Remplaçons $k$ : $$ t = \frac{\ln(4)}{\frac{\ln(2)}{5}} = 5 \times \frac{\ln(4)}{\ln(2)} $$ Or $\ln(4) = \ln(2^2) = 2 \ln(2)$ donc $$ t = 5 \times \frac{2 \ln(2)}{\ln(2)} = 5 \times 2 = 10 $$ 7. Conclusion : La concentration reste supérieure ou égale à 3,75 µg/ml pendant 10 heures.