1. **Problemstellung:** Eine Bakterienart vermehrt sich so, dass sie alle 3 Tage auf das 1,5-fache anwächst. Wir wollen wissen, nach welcher Zeit aus 10 Bakterien 45 geworden sind. 2. **Formel:** Die Vermehrung kann als exponentielles Wachstum beschrieben werden mit der Formel $$N(t) = N_0 \cdot r^{\frac{t}{T}}$$ wobei: - $N(t)$ die Anzahl der Bakterien nach Zeit $t$ ist, - $N_0$ die Anfangsanzahl der Bakterien ist, - $r$ der Wachstumsfaktor pro Zeitintervall $T$ ist, - $t$ die gesuchte Zeit, - $T$ die Zeitdauer eines Wachstumsintervalls (hier 3 Tage). 3. **Gegebene Werte:** - $N_0 = 10$ - $N(t) = 45$ - $r = 1{,}5$ - $T = 3$ Tage 4. **Einsetzen in die Formel:** $$45 = 10 \cdot 1{,}5^{\frac{t}{3}}$$ 5. **Gleichung nach $t$ auflösen:** $$\frac{45}{10} = 1{,}5^{\frac{t}{3}}$$ $$4{,}5 = 1{,}5^{\frac{t}{3}}$$ 6. **Logarithmus anwenden:** $$\log(4{,}5) = \log\left(1{,}5^{\frac{t}{3}}\right) = \frac{t}{3} \cdot \log(1{,}5)$$ 7. **Nach $t$ umstellen:** $$t = 3 \cdot \frac{\log(4{,}5)}{\log(1{,}5)}$$ 8. **Berechnung:** $$\log(4{,}5) \approx 0{,}6532$$ $$\log(1{,}5) \approx 0{,}1761$$ $$t = 3 \cdot \frac{0{,}6532}{0{,}1761} \approx 3 \cdot 3{,}71 = 11{,}13$$ **Antwort:** Nach etwa 11,13 Tagen sind aus 10 Bakterien 45 geworden.