1. **Problema 2:** Una onda plana homogénea (OPH) se propaga en dirección $z$ en un medio dieléctrico sin pérdidas con $\varepsilon_r = 4$. La OPH está dada por: $$\vec{E}(z) = (\hat{x} + 2j \hat{x} + \hat{y}) e^{-8\pi z} \quad [V/m]$$ Se pide determinar la frecuencia de la OPH y su tipo y signo de polarización. 2. **Fórmulas y conceptos importantes:** - La constante de propagación en un medio sin pérdidas es $\gamma = \alpha + j\beta$, donde $\alpha$ es la atenuación y $\beta$ la constante de fase. - Para un medio sin pérdidas, $\alpha = 0$, pero aquí se observa un término real en el exponente $e^{-8\pi z}$, por lo que $\alpha = 8\pi$. - La constante de fase $\beta$ está relacionada con la frecuencia $f$ y la velocidad de la luz en el medio $v$ por: $$\beta = \frac{2\pi f}{v}$$ - La velocidad de la luz en el medio es: $$v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}$$ con $c = 3 \times 10^8$ m/s. 3. **Determinación de la frecuencia:** - Dado que la expresión de la onda es $e^{-8\pi z}$, el término en el exponente es real y negativo, indicando atenuación, lo que no es típico en un medio sin pérdidas. Asumiremos que la parte imaginaria de la constante de propagación es cero para este problema, por lo que la frecuencia se relaciona con $\beta$. - Sin embargo, la expresión dada no muestra un término imaginario en el exponente, lo que sugiere que la frecuencia es cero o que la onda no tiene fase que varíe con $z$. Esto es inconsistente con una onda propagándose. - Asumiendo que la expresión debería ser $e^{-j\beta z}$ y que $8\pi$ corresponde a $\beta$, entonces: $$\beta = 8\pi = \frac{2\pi f}{v} \Rightarrow f = \frac{\beta v}{2\pi} = \frac{8\pi \times c / \sqrt{\varepsilon_r}}{2\pi} = 4 c / \sqrt{\varepsilon_r}$$ - Calculando: $$f = 4 \times \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{4}} = 4 \times \frac{3 \times 10^8}{2} = 6 \times 10^8 \text{ Hz}$$ 4. **Tipo y signo de polarización:** - El vector de campo eléctrico es: $$\vec{E} = (1 + 2j) \hat{x} + 1 \hat{y}$$ - La componente en $x$ es compleja, la de $y$ es real. - Para determinar la polarización, se analiza la relación de fase y amplitud entre componentes. - La componente $x$ tiene magnitud $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ y fase $\phi_x = \arctan(2/1) = 63.43^\circ$. - La componente $y$ es real y positiva, fase $0^\circ$. - La diferencia de fase es $63.43^\circ$, lo que indica una polarización elíptica. - El signo de la polarización se determina por la dirección de rotación del vector campo eléctrico en el plano $xy$. - Como la componente $x$ adelanta en fase a $y$, la polarización es elíptica con rotación en sentido antihorario (polarización derecha). --- **Problema 3:** Una OPH incide frontalmente sobre una estructura multicapa dieléctrica con las siguientes características: - Frecuencia $f = 300$ MHz - Densidad de potencia incidente $W_I = 1$ W/m² - Medio 1: $\varepsilon_0, \mu_0$ - Medio 2: $\varepsilon_{r2} = 2$, $\tan \delta = 10^{-3}$, $d_2 = \sqrt{2}$ m - Medio 3: $\varepsilon_{r3} = 4$, $d_3 = 1$ m - Medio 4: $\varepsilon_0, \mu_0$ - Se pide determinar la densidad de potencia que llega a 5 metros a la derecha de la discontinuidad entre medios 3 y 4. 1. **Fórmulas y conceptos:** - La densidad de potencia en un medio con pérdidas se atenúa según: $$W(z) = W_0 e^{-2\alpha z}$$ - La atenuación $\alpha$ en un medio dieléctrico con pérdidas es: $$\alpha = \omega \sqrt{\frac{\mu \varepsilon}{2}} \left[ \sqrt{1 + \left( \frac{\sigma}{\omega \varepsilon} \right)^2} - 1 \right]^{1/2}$$ - Para un dieléctrico con tangente de pérdidas $\tan \delta$, la conductividad efectiva es: $$\sigma = \omega \varepsilon \tan \delta$$ - La frecuencia angular es: $$\omega = 2\pi f$$ - La permitividad absoluta es: $$\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$$ - La permeabilidad es $\mu = \mu_0$ (medio no magnético). 2. **Cálculo de $\alpha$ en medio 2:** - $f = 300 \times 10^6$ Hz - $\omega = 2\pi \times 300 \times 10^6 = 1.884 \times 10^9$ rad/s - $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ F/m - $\varepsilon_2 = 8.854 \times 10^{-12} \times 2 = 1.7708 \times 10^{-11}$ F/m - $\sigma = \omega \varepsilon_2 \tan \delta = 1.884 \times 10^9 \times 1.7708 \times 10^{-11} \times 10^{-3} = 3.33 \times 10^{-5}$ S/m - $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ H/m - Calcular $\alpha_2$: $$\alpha_2 = \omega \sqrt{\frac{\mu_0 \varepsilon_2}{2}} \left[ \sqrt{1 + \left( \frac{\sigma}{\omega \varepsilon_2} \right)^2} - 1 \right]^{1/2}$$ - Primero calcular $\frac{\sigma}{\omega \varepsilon_2} = \frac{3.33 \times 10^{-5}}{1.884 \times 10^9 \times 1.7708 \times 10^{-11}} = 1$ (aprox) - Entonces: $$\sqrt{1 + 1^2} - 1 = \sqrt{2} - 1 = 0.4142$$ - Raíz cuadrada: $$\sqrt{0.4142} = 0.643$$ - Calcular $\sqrt{\frac{\mu_0 \varepsilon_2}{2}}$: $$\frac{\mu_0 \varepsilon_2}{2} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 1.7708 \times 10^{-11}}{2} = 1.11 \times 10^{-17}$$ $$\sqrt{1.11 \times 10^{-17}} = 1.05 \times 10^{-8}$$ - Finalmente: $$\alpha_2 = 1.884 \times 10^9 \times 1.05 \times 10^{-8} \times 0.643 = 12.7 \text{ Np/m}$$ 3. **Cálculo de atenuación en medio 3 (sin pérdidas):** - Medio 3 es sin pérdidas, $\alpha_3 = 0$. 4. **Cálculo de la potencia transmitida a la derecha de la discontinuidad entre medios 3 y 4:** - La potencia incidente es $W_I = 1$ W/m². - La potencia que llega a la discontinuidad entre medio 3 y 4 es la que sale del medio 3, sin atenuación adicional. - La distancia a la derecha de la discontinuidad es 5 m en medio 4, que es sin pérdidas, por lo que no hay atenuación adicional. - Por lo tanto, la potencia que llega a 5 m a la derecha es igual a la potencia transmitida a través de la estructura. - Para calcular la potencia transmitida, se debe considerar la atenuación en medio 2 y la reflexión en las interfaces, pero dado que no se proporcionan coeficientes de reflexión, asumimos transmisión total. - La atenuación en medio 2 sobre $d_2 = \sqrt{2} \approx 1.414$ m es: $$W_2 = W_I e^{-2 \alpha_2 d_2} = 1 \times e^{-2 \times 12.7 \times 1.414} = e^{-35.9} \approx 2.6 \times 10^{-16}$$ - En medio 3 no hay atenuación, por lo que la potencia que llega a la discontinuidad 3-4 es $2.6 \times 10^{-16}$ W/m². - En medio 4, sin pérdidas, la potencia a 5 m sigue siendo $2.6 \times 10^{-16}$ W/m². **Respuesta final:** - Frecuencia OPH problema 2: $6 \times 10^8$ Hz - Polarización: elíptica derecha - Densidad de potencia a 5 m en problema 3: aproximadamente $2.6 \times 10^{-16}$ W/m²