1. Planteamos el problema: Tenemos una escala termométrica Z que varía linealmente con la temperatura en grados Celsius (°C). Se sabe que 0°C = 20Z y 100°C = 220Z. 2. Queremos encontrar la temperatura final en grados Fahrenheit (°F) de una sustancia que inicialmente está a 68°F y luego aumenta su temperatura en 50Z. 3. Primero, expresamos la relación lineal entre Z y °C. Sea $T_C$ la temperatura en °C y $T_Z$ la temperatura en Z. La relación es: $$T_Z = m T_C + b$$ Donde $m$ es la pendiente y $b$ la ordenada al origen. 4. Usamos los datos dados para encontrar $m$ y $b$: Para 0°C: $$20 = m \times 0 + b \Rightarrow b = 20$$ Para 100°C: $$220 = m \times 100 + 20 \Rightarrow m \times 100 = 220 - 20 = 200 \Rightarrow m = \frac{200}{100} = 2$$ 5. Por lo tanto, la relación es: $$T_Z = 2 T_C + 20$$ 6. Despejamos $T_C$ en función de $T_Z$: $$T_Z = 2 T_C + 20 \Rightarrow T_Z - 20 = 2 T_C \Rightarrow T_C = \frac{T_Z - 20}{2}$$ 7. Convertimos la temperatura inicial de 68°F a °C usando la fórmula: $$T_C = \frac{5}{9} (T_F - 32)$$ Entonces: $$T_{C,\text{inicial}} = \frac{5}{9} (68 - 32) = \frac{5}{9} \times 36 = 20$$ 8. Convertimos esta temperatura inicial en °C a Z: $$T_{Z,\text{inicial}} = 2 \times 20 + 20 = 40 + 20 = 60$$ 9. La temperatura aumenta en 50Z, por lo que la temperatura final en Z es: $$T_{Z,\text{final}} = 60 + 50 = 110$$ 10. Convertimos la temperatura final en Z a °C: $$T_{C,\text{final}} = \frac{110 - 20}{2} = \frac{90}{2} = 45$$ 11. Finalmente, convertimos la temperatura final en °C a °F: $$T_{F,\text{final}} = \frac{9}{5} \times 45 + 32 = 81 + 32 = 113$$ 12. Respuesta: La temperatura final es **113°F**.