1. **Planteamiento del problema:** Tenemos un sistema con tres bloques: A (5 kg) sobre un plano inclinado con ángulo $\alpha=40^\circ$, B (4 kg) sobre superficie horizontal, y C (6 kg) colgando verticalmente. Se pide calcular: - La aceleración del sistema hacia la derecha en m/s². - La tensión en las cuerdas A-B y B-C en Newtons. 2. **Datos y conversiones:** - Masa A: $m_A=5$ kg - Masa B: $m_B=4$ kg - Masa C: $m_C=6$ kg - Ángulo: $\alpha=40^\circ$ - Gravedad: $g=9.8$ m/s² Convertimos masas a pesos (fuerzas gravitacionales): $$ W_A = m_A \times g = 5 \times 9.8 = 49\,N $$ $$ W_B = m_B \times g = 4 \times 9.8 = 39.2\,N $$ $$ W_C = m_C \times g = 6 \times 9.8 = 58.8\,N $$ 3. **Diagrama de cuerpo libre y componentes:** - Para el bloque A en el plano inclinado: - Componente del peso paralelo al plano: $W_{A\parallel} = W_A \sin(\alpha) = 49 \sin(40^\circ)$ - Componente del peso perpendicular al plano: $W_{A\perp} = W_A \cos(\alpha) = 49 \cos(40^\circ)$ - Bloque B está en superficie horizontal, peso vertical $W_B$ y normal igual. - Bloque C cuelga verticalmente con peso $W_C$. 4. **Fuerzas de fricción:** Coeficiente de rozamiento $\mu=0.6$ para A y B. - Fuerza normal en A: $N_A = W_{A\perp} = 49 \cos(40^\circ)$ - Fuerza de fricción en A: $f_A = \mu N_A = 0.6 \times 49 \cos(40^\circ)$ - Fuerza normal en B: $N_B = W_B = 39.2$ N - Fuerza de fricción en B: $f_B = \mu N_B = 0.6 \times 39.2$ 5. **Sumatoria de fuerzas y ecuaciones:** Definimos la aceleración $a$ hacia la derecha (hacia donde se moverá el sistema). - Para A (sobre plano inclinado): $$ T_1 - W_{A\parallel} - f_A = m_A a $$ - Para B (superficie horizontal): $$ T_2 - T_1 - f_B = m_B a $$ - Para C (colgando verticalmente): $$ W_C - T_2 = m_C a $$ 6. **Cálculos numéricos:** Calculamos componentes: $$ W_{A\parallel} = 49 \sin(40^\circ) \approx 49 \times 0.6428 = 31.5\,N $$ $$ W_{A\perp} = 49 \cos(40^\circ) \approx 49 \times 0.7660 = 37.5\,N $$ $$ f_A = 0.6 \times 37.5 = 22.5\,N $$ $$ f_B = 0.6 \times 39.2 = 23.5\,N $$ 7. **Sistema de ecuaciones:** $$ \begin{cases} T_1 - 31.5 - 22.5 = 5a \\ T_2 - T_1 - 23.5 = 4a \\ 58.8 - T_2 = 6a \end{cases} $$ Simplificamos cada ecuación: $$ T_1 - 54 = 5a \implies T_1 = 5a + 54 $$ $$ T_2 - T_1 - 23.5 = 4a \implies T_2 = 4a + T_1 + 23.5 = 4a + 5a + 54 + 23.5 = 9a + 77.5 $$ $$ 58.8 - T_2 = 6a \implies T_2 = 58.8 - 6a $$ Igualamos las dos expresiones para $T_2$: $$ 9a + 77.5 = 58.8 - 6a $$ Sumamos $6a$ a ambos lados: $$ 9a + 6a + 77.5 = 58.8 $$ $$ 15a + 77.5 = 58.8 $$ Restamos 77.5: $$ 15a = 58.8 - 77.5 = -18.7 $$ Dividimos: $$ a = \frac{\cancel{15}a}{\cancel{15}} = \frac{-18.7}{15} = -1.25\,m/s^2 $$ El signo negativo indica que la aceleración es hacia la izquierda (contraria a la dirección asumida). 8. **Tensiones:** $$ T_1 = 5a + 54 = 5(-1.25) + 54 = -6.25 + 54 = 47.75\,N $$ $$ T_2 = 58.8 - 6a = 58.8 - 6(-1.25) = 58.8 + 7.5 = 66.3\,N $$ **Respuesta final:** - Aceleración del sistema: $1.25$ m/s² hacia la izquierda (contraria a la dirección asumida). - Tensión cuerda A-B: $47.75$ N - Tensión cuerda B-C: $66.3$ N