1. Planteamos el problema: La trayectoria del balón está dada por la función parabólica $$y = -0.05x^2 + 2x$$ donde $y$ es la altura en metros y $x$ el tiempo en segundos. 2. Para encontrar la altura máxima, recordamos que la función es una parábola con coeficiente cuadrático negativo, por lo que su vértice es un máximo. 3. La fórmula para la coordenada $x$ del vértice de una parábola $y = ax^2 + bx + c$ es $$x = -\frac{b}{2a}$$ 4. En nuestro caso, $a = -0.05$ y $b = 2$, entonces: $$x = -\frac{2}{2 \times (-0.05)} = -\frac{2}{-0.1} = 20$$ 5. Evaluamos la altura máxima sustituyendo $x=20$ en la función: $$y = -0.05(20)^2 + 2(20) = -0.05(400) + 40 = -20 + 40 = 20$$ 6. Por lo tanto, la altura máxima que alcanza el balón es $20$ metros. 7. Para determinar cuándo el balón toca el suelo, buscamos los valores de $x$ para los cuales $y=0$: $$-0.05x^2 + 2x = 0$$ 8. Factorizamos la ecuación: $$x(-0.05x + 2) = 0$$ 9. Esto nos da dos soluciones: $$x = 0$$ (inicio en el suelo) y $$-0.05x + 2 = 0$$ 10. Resolviendo la segunda: $$-0.05x + 2 = 0 \Rightarrow -0.05x = -2 \Rightarrow x = \frac{-2}{-0.05} = 40$$ 11. Por lo tanto, el balón toca el suelo nuevamente a los $40$ segundos. **Respuesta final:** - Altura máxima: $20$ metros - Tiempo en que toca el suelo: $40$ segundos