1. El problema nos da la trayectoria parabólica de un balón de fútbol: $$y = -0.05x^2 + 2x$$ donde $y$ es la altura en metros y $x$ es el tiempo en segundos. 2. Para encontrar la altura máxima, recordemos que la función es una parábola con coeficiente cuadrático negativo, por lo que tiene un máximo en su vértice. 3. La fórmula para la coordenada $x$ del vértice de una parábola $ax^2 + bx + c$ es $$x = -\frac{b}{2a}$$ 4. Aquí, $a = -0.05$ y $b = 2$, entonces: $$x = -\frac{2}{2 \times (-0.05)} = -\frac{2}{-0.1} = 20$$ 5. Evaluamos $y$ en $x=20$ para encontrar la altura máxima: $$y = -0.05(20)^2 + 2(20) = -0.05(400) + 40 = -20 + 40 = 20$$ 6. Por lo tanto, la altura máxima que alcanza el balón es 20 metros. 7. Para determinar cuándo tocará el suelo, buscamos los valores de $x$ cuando $y=0$: $$0 = -0.05x^2 + 2x$$ 8. Factorizamos: $$0 = x(-0.05x + 2)$$ 9. Esto da dos soluciones: $$x = 0$$ (momento inicial) y $$-0.05x + 2 = 0$$ 10. Resolviendo la segunda: $$-0.05x + 2 = 0 \Rightarrow -0.05x = -2 \Rightarrow x = \frac{-2}{-0.05} = 40$$ 11. Por lo tanto, el balón tocará el suelo nuevamente a los 40 segundos. Respuesta final: - Altura máxima: 20 metros - Tiempo para tocar el suelo: 40 segundos